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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAsturiasPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Asturias 2012

4 ejercicios

Instrucciones

El examen presenta dos opciones: A y B. El alumno deberá elegir una de ellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. La puntuación de cada ejercicio es de 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(m⋅x01−1)A = \begin{pmatrix} m \cdot x & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, B=(1y)B = \begin{pmatrix} 1 \\ y \end{pmatrix}, C=(mm)C = \begin{pmatrix} m \\ m \end{pmatrix} y D=(y−x)D = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}.
a
Si A⋅B−C=DA \cdot B - C = D, plantea un sistema de 2 ecuaciones y 2 incógnitas (representadas por xx e yy) en función del parámetro mm.1 pt
b
¿Para qué valores de mm el sistema tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra una solución para m=2m = 2.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Una empresa fabrica únicamente tapas y envases. Cada lote de tapas requiere de 1 litro de barniz y 5 minutos en el horno, mientras que cada lote de envases requiere de 2 litros de barniz y 3 minutos en el horno. Semanalmente se dispone de 1000 litros de barniz y 3000 minutos de horno. Por restricciones de su infraestructura, la producción semanal entre los dos productos es, como mucho, de 650 lotes.
a
¿Cuántos lotes de cada tipo puede fabricar la empresa cada semana? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se cumplirían los requisitos si la empresa fabricase 200 lotes de tapas y 100 lotes de envases?1,75 pts
b
Si la empresa vende todo lo que fabrica y gana por cada lote de tapas fabricado 3000 euros y por cada lote de envases 4000 euros, ¿cuántos lotes de cada tipo deberá fabricar para maximizar sus ganancias?0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Un dispositivo de 10 años de duración tiene una tasa de fallos que depende del tiempo que lleve en funcionamiento a través de la expresión (f(x)f(x) representa la tasa de fallos en el instante xx, medido en años):f(x)=x33+10x2−69x+200,0≤x≤10f(x) = \frac{x^3}{3} + 10x^2 - 69x + 200, \quad 0 \leq x \leq 10
a
Indica el intervalo de tiempo en el que la tasa de fallos crece y aquel en el que decrece.1,5 pts
b
¿Cuándo se alcanza la tasa de fallos más baja? ¿Cuánto vale?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se ha entrevistado a 400 mujeres elegidas de forma aleatoria y se ha obtenido que el tiempo medio semanal que dedican a trabajos domésticos es de 1815 minutos. Hace un par de décadas, dicho tiempo era de 2000 minutos. Si el tiempo semanal dedicado por las mujeres a trabajos domésticos sigue una distribución normal con desviación típica 950 minutos,
Datos
  • Valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(3,89)=1,000F(3{,}89) = 1{,}000
  • F(2,58)=0,995F(2{,}58) = 0{,}995
  • F(2,33)=0,99F(2{,}33) = 0{,}99
  • F(0,99)=0,84F(0{,}99) = 0{,}84
  • F(0,01)=0,50F(0{,}01) = 0{,}50
a
Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el tiempo medio semanal sigue siendo de 2000 minutos, frente a la alternativa de que se redujo.0,75 pts
b
¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 1%1\%?1,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Cada acción de BBA ha dado una ganancia de 6 euros y cada acción de NKO ha dado una ganancia de mm euros. Un inversor había comprado acciones de ambos tipos, lo que le supuso una ganancia total de 800 euros, pero está arrepentido de su inversión, porque si hubiese comprado la mitad de acciones de BBA y el doble de NKO, su ganancia total habría sido de 1150 euros.
a
Plantea un sistema de ecuaciones (en función de mm) donde las incógnitas xx e yy sean el número de acciones compradas de cada tipo. Basándote en un estudio de la compatibilidad del sistema, ¿existe algún valor de mm para el que el sistema tenga más de una solución?1,75 pts
b
Si la ganancia por cada acción de NKO fue de 5 euros, ¿cuántas acciones de NKO había comprado?0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=3−xf(x) = 3 - x, se pide:
a
Encontrar la primitiva FF de ff verificando que F(0)=2F(0) = 2.0,75 pts
b
Representar la función ff y calcular el área limitada por la curva ff y el eje XX entre x=0x = 0 y x=2x = 2.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se sabe que un 40%40\% de los graduados en una carrera son mujeres, de las cuales el 25%25\% ha repetido algún curso. Además se sabe que un 30%30\% de los hombres graduados ha repetido algún curso.
a
¿Qué porcentaje son mujeres y ha repetido algún curso?1,5 pts
b
¿Qué porcentaje de las personas graduadas ha repetido algún curso?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Un canal de televisión considera que un programa es rentable cuando más del 16%16\% de los televisores encendidos están sintonizando dicho canal durante su emisión. Coincidiendo con el episodio piloto de una nueva serie, se seleccionan aleatoriamente 4000 de los televisores encendidos y se obtiene que 720 de ellos están sintonizando el canal.
Datos
  • Valores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1: F(3,45)=1,000F(3{,}45) = 1{,}000
  • F(1,96)=0,975F(1{,}96) = 0{,}975
  • F(1,64)=0,95F(1{,}64) = 0{,}95
  • F(0,95)=0,83F(0{,}95) = 0{,}83
  • F(0,05)=0,52F(0{,}05) = 0{,}52
a
Plantea un test para contrastar que el episodio piloto no ha sido rentable, frente a la alternativa de que sí lo ha sido, tal como parecen indicar los datos.0,75 pts
b
¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación del 5%5\%?1,75 pts
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