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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Calcule todas las matrices 2×22 \times 2 de la forma A=(ab1d)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 1 & d \end{pmatrix} que satisfacen A2=0A^2 = 0.6 pts
b
Demuestre que las matrices del apartado anterior no son invertibles.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Calcule la recta perpendicular al plano que pasa por los puntos P1(1,1,1)P_1(1, 1, 1), P2(0,2,1)P_2(0, 2, 1), P3(0,0,−1)P_3(0, 0, -1) y que pasa por el punto (0,0,0)(0, 0, 0).
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Calcule los máximos y mínimos relativos de la función: f(x)=2x+1x2+2x+3f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + 2x + 3}.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Haga un dibujo del recinto limitado por la curva f(x)=xx2+3f(x) = \frac{x}{x^2 + 3} entre los valores x=0x = 0, x=1x = 1 y el eje OX (3 puntos). Calcule el área de este recinto (7 puntos).
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Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Calcule la posición relativa de las rectas: r1:{x+2y+3z=−1x+y−z=0r_1: \begin{cases} x + 2y + 3z = -1 \\ x + y - z = 0 \end{cases}, r2:{x+y=02x+y=1r_2: \begin{cases} x + y = 0 \\ 2x + y = 1 \end{cases}.5 pts
b
Calcule, si procede, o bien el punto de intersección o bien la recta perpendicular a estas dos y que las corte.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
a
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro aa:{x+2y+z=−1x+ay−az=03ax+6y−3z=−1\begin{cases} x + 2y + z = -1 \\ x + ay - az = 0 \\ 3ax + 6y - 3z = -1 \end{cases}6 pts
b
Resuelva el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sea aa un valor real que está estrictamente entre −1-1 y 11 (−1<a<1-1 < a < 1). Definimos la función siguiente en función de aa: f(x)=13x3+ax2+x−3f(x) = \frac{1}{3}x^3 + a x^2 + x - 3. Demuestre que la función anterior solo se anula para un valor de xx.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida: ∫x⋅4+x23 dx\int x \cdot \sqrt[3]{4 + x^2} \, dx.
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