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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCantabriaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cantabria 2012

6 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3,5 puntos
Maximizar la función 3x−5y3x - 5y con las siguientes restricciones: {2x+y≤5x+3y≤10x≥00≤y≤3\begin{cases} 2x + y \leq 5 \\ x + 3y \leq 10 \\ x \geq 0 \\ 0 \leq y \leq 3 \end{cases}
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3,5 puntos
Dada la matriz A=(1−13213−12a)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & a \end{pmatrix}:
a)1,5 pts
Determinar el valor de aa para que el rango de la matriz AA sea 22.
b)2 pts
Basándote en los resultados obtenidos en el apartado anterior, ¿podrías afirmar si el siguiente sistema tiene solución? {x−y=32x+y=3−x+2y=5¿Y el siguiente?{x−y=32x+y=3−x+2y=−4\begin{cases} x - y = 3 \\ 2x + y = 3 \\ -x + 2y = 5 \end{cases} \quad \text{¿Y el siguiente?} \quad \begin{cases} x - y = 3 \\ 2x + y = 3 \\ -x + 2y = -4 \end{cases} Justifica las respuestas, utilizando los resultados obtenidos en el apartado A.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3,5 puntos
Dada la función f(x)={x−4,six≤2ax3x2−2,six>2f(x) = \begin{cases} x - 4, & \text{si} & x \leq 2 \\ \frac{ax}{3x^2 - 2}, & \text{si} & x > 2 \end{cases}
a)1 pts
Determinar el valor del parámetro aa para el cual la función es continua en todo su dominio.
b)1 pts
Calcular ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx.
c)1,5 pts
La confitería de una pequeña localidad elabora un dulce típico, una tarta de hojaldre y calcula que, durante las fiestas pasadas, vendió cada unidad a 1010 euros, vendiendo así 2020 tartas en total. Este año quiere bajar el precio y calcula que por cada euro menos, venderá 44 tartas más. Por otro lado, la elaboración de cada tarta le supone un gasto de 66 euros. ¿A qué precio debe vender cada tarta para maximizar los beneficios obtenidos con este dulce durante las fiestas? ¿Qué beneficios se alcanzan?
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3,5 puntos
Dada la función f(x)=2x2+3(x+1)2f(x) = \frac{2x^2 + 3}{(x + 1)^2}, determinar:
a)3 pts
Estudio de la función:
a.1)0,2 pts
El dominio de definición y los puntos de corte con los ejes.
a.2)0,7 pts
Las asíntotas.
a.3)0,7 pts
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos.
a.4)0,7 pts
Los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.
a.5)0,7 pts
Finalmente, con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibujar su gráfica.
b)0,5 pts
Hallar el valor de aa de modo que la siguiente igualdad sea cierta: lim⁡x→1x2−3x+2ax−a=3\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 3x + 2}{ax - a} = 3
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
El tiempo diario que los estudiantes de la Facultad de Económicas dedican al estudio sigue una distribución normal con desviación típica 2020 minutos. Una muestra aleatoria de alumnos ha dado como resultado un tiempo medio de 160160 minutos.
a)1,5 pts
Obtener el intervalo de confianza del 90%90\% para el tiempo medio de estudio.
b)1,5 pts
¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra si deseamos que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 98%98\% sea de 1,51{,}5?
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
Tres de los mejores alumnos de un instituto de Secundaria de la región, Juan, María y Elena, participan en las Olimpiadas Matemáticas. La probabilidad de que Juan gane en su prueba es 23\frac{2}{3}, la de María es 47\frac{4}{7} y la de Elena es 35\frac{3}{5}. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos:
a)1 pts
Los tres pierden.
b)1 pts
Sólo gana uno de ellos.
c)1 pts
Al menos uno de ellos gana.
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