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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2012

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
a)
Determina la matriz XX sabiendo que X−1⋅Bt=A+BX^{-1} \cdot B^t = A + B, siendo A=(110−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, B=(−1111)B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, BtB^t la matriz traspuesta de BB y X−1X^{-1} la matriz inversa de XX.
b)
Dada A=(a0a1)A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix}, calcula, si lo hay, algún valor de "aa" para el que se verifique que A2A^2 sea la matriz identidad.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
Se considera la función f(x,y)=x+2yf(x, y) = x + 2y sujeta a las restricciones: x+y≤9x + y \leq 9; y≤x+5y \leq x + 5; 2y≥4−x2y \geq 4 - x; 0≤x≤60 \leq x \leq 6; y≥0y \geq 0.
a)
Representa la región RR del plano determinada por el conjunto de restricciones y calcula sus vértices.
b)
Calcula los puntos de RR donde la función alcanza sus valores máximo e mínimo. Calcula esos valores.
c)
Responde al apartado anterior si se elimina la restricción y≥0y \geq 0 del anterior conjunto de restricciones.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
La cantidad de agua (en cientos de litros) que llega a una depuradora para su procesado a lo largo de cierto día, viene estimada por la función C(t)=−2t3+75t2−600t+2000C(t) = -2t^3 + 75t^2 - 600t + 2000, 0≤t≤240 \leq t \leq 24, donde tt es el tiempo en horas transcurrido a partir de las 0:00 horas.
a)
Determina en qué periodos se produce un aumento y una disminución de la cantidad de agua.
b)
Calcula la cantidad máxima y mínima de agua.
c)
Calcula el punto de inflexión y representa la gráfica de la función C(t)C(t), 0≤t≤240 \leq t \leq 24.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
En una empresa la relación entre la producción xx (expresada en miles de toneladas) y el coste medio de fabricación C(x)C(x) (expresado en miles de euros) es del tipo C(x)=2+x+9xC(x) = 2 + x + \frac{9}{x}, 1≤x≤101 \leq x \leq 10.
a)
Calcula la cantidad de producción que minimiza el coste medio de fabricación y el coste medio mínimo.
b)
Calcula la cantidad de producción que maximiza el coste medio de fabricación y el coste medio máximo.
c)
Si no desean superar los 12 mil euros de coste medio de fabricación ¿entre qué valores deberá estar comprendida la producción?
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Se sabe que en cierta población de personas de 18 o más años, el 60%60\% está en contra de la eutanasia.
a)
¿Se realiza una encuesta a una muestra aleatoria de 150 personas de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que más de la mitad se manifieste en contra de la eutanasia?
b)
Si en esa población el 68%68\% son mayores de 65 años y el 75%75\% de ellos está en contra de la eutanasia, ¿qué porcentaje de los que tienen entre 18 y 65 años está en contra de la eutanasia?
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
La probabilidad de obtener rentabilidad positiva en el plazo de un año con un fondo de inversión recientemente constituido es 0,40{,}4. Si en el primer año se obtuvo rentabilidad positiva, la probabilidad de obtenerla en el segundo año es 0,60{,}6. La probabilidad de no obtener rentabilidad positiva ni en el primero ni en el segundo año es 0,480{,}48.
a)
¿Qué probabilidad hay de obtener rentabilidad positiva en el segundo año?
b)
Calcula la probabilidad de obtener rentabilidad positiva en alguno de los dos años.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
El tiempo de espera para la realización de cierta prueba médica en un hospital sigue una distribución normal con desviación típica de 5 días. La gerencia afirma que "el tiempo medio de espera para la realización de dicha prueba es como máximo de 20 días". Para contrastar esa afirmación se tomó una muestra aleatoria de 100 pacientes que precisaban hacerse la prueba, resultando que el tiempo medio de espera fue de 21 días.
a)
Formula un test para contrastar la hipótesis que afirma la gerencia frente a que el tiempo medio fue superior. ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%5\%? ¿Se llegaría a la misma conclusión con un nivel de significación del 1%1\%?
b)
Explica, en el contexto del problema, en qué consisten los errores de tipo I y de tipo II.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
a)
Se quiere estimar el porcentaje de españoles que, teniendo derecho a voto, no votarán en las próximas elecciones al Parlamento Europeo. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para garantizar un margen de error no superior al 2,5%2{,}5\% con un nivel del 95%95\% de confianza?
b)
Se selecciona una muestra aleatoria de 1540 españoles con derecho a voto y de ellos 693 aseguran que no votarán en las próximas elecciones al Parlamento Europeo. Calcula un intervalo del 95%95\% de confianza para el porcentaje de españoles con derecho a voto que no votarán en las citadas elecciones. ¿Qué error máximo se está cometiendo en esta estimación?
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