Matemáticas II · La Rioja 2021

Sea la función $$f(x) = \frac{x^2}{2 - e^{-x}}.$$ Determinar el dominio, extremos relativos y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan.

Sea la función $$f(x) = \cos x.$$ Hallar el área de la superficie encerrada por la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x = -\frac{\pi}{4}$, la gráfica de $f$ y las rectas $x = -\frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{\pi}{2}$.

Calcular los siguientes límites:

Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} ax + y + z = 2 \\ 2x + ay + a^2z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$ según el valor del parámetro real $a$.

Hallar las matrices $A - B$, $A$ y $B$, sabiendo que las matrices $A$ y $B$ satisfacen las siguientes identidades: $$A + B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^2 - AB + BA - B^2 = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$. Calcular $A^{-1}$ y $A^{20}$, utilizando necesariamente la siguiente identidad $A^3 = -I$, donde $I$ es la matriz identidad.

Hallar la ecuación de la recta, tal que:

Calcular el valor del parámetro real $a$ para que las rectas $r$ y $s$ se corten y calcular este punto. $$r \equiv \begin{cases} 4x + z = a \\ x + y = 2 \end{cases}, \qquad s \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + 2z = 2a \end{cases}$$

El tiempo que una persona tarda en llegar a su lugar de trabajo sigue una distribución normal de media $20$ minutos. Se ha comprobado que el $84{,}1\%$ de los días llega antes de $22$ minutos. Si durante el año acude a su lugar de trabajo $290$ días, ¿cuántos días puede estimar que tardará menos de $18$ minutos en llegar?

Sofía va al teatro, cine o de concierto con probabilidades $0{,}5$, $0{,}2$ y $0{,}3$. El $60\%$ de las veces que va al cine se encuentra con amigos y se va de cena con los amigos. Lo mismo le ocurre el $10\%$ de las veces que va al teatro y el $90\%$ de las que va de concierto.