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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2021

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a SÓLO CINCO ejercicios de entre los planteados. En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero. Todas las preguntas tienen la misma puntuación. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea la funciónf(x)=x22−e−x. f(x) = \frac{x^2}{2 - e^{-x}}. Determinar el dominio, extremos relativos y las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas cuando existan.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea la funciónf(x)=cos⁡x. f(x) = \cos x. Hallar el área de la superficie encerrada por la recta tangente a la gráfica de ff en el punto x=−π4x = -\frac{\pi}{4}, la gráfica de ff y las rectas x=−π4x = -\frac{\pi}{4} y x=π2x = \frac{\pi}{2}.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcular los siguientes límites:
a
lim⁡x→0+(1x2)tg⁡x\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x^2} \right)^{\tg x}
b
lim⁡x→∞(4x−14x)x\lim_{x \to \infty} \left( \frac{4x - 1}{4x} \right)^x
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Discutir y resolver el sistema de ecuaciones lineales:{ax+y+z=22x+ay+a2z=12x+y+z=2 \begin{cases} ax + y + z = 2 \\ 2x + ay + a^2z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases} según el valor del parámetro real aa.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Hallar las matrices A−BA - B, AA y BB, sabiendo que las matrices AA y BB satisfacen las siguientes identidades:A+B=(00−10−10101),A2−AB+BA−B2=(−20−2−2−10000). A + B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^2 - AB + BA - B^2 = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dada la matriz A=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}. Calcular A−1A^{-1} y A20A^{20}, utilizando necesariamente la siguiente identidad A3=−IA^3 = -I, donde II es la matriz identidad.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Hallar la ecuación de la recta, tal que:
a
pasa por el punto P(1,1,1)P(1, 1, 1),
b
es paralela al plano π≡x+y−2z−3=0\pi \equiv x + y - 2z - 3 = 0
c
es perpendicular a la recta r≡{x=3+λy=2−λz=1−2λr \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 1 - 2\lambda \end{cases}
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Calcular el valor del parámetro real aa para que las rectas rr y ss se corten y calcular este punto.r≡{4x+z=ax+y=2,s≡{x+y+z=0x+2z=2a r \equiv \begin{cases} 4x + z = a \\ x + y = 2 \end{cases}, \qquad s \equiv \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + 2z = 2a \end{cases}
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Ejercicio 9

9
2 puntos
El tiempo que una persona tarda en llegar a su lugar de trabajo sigue una distribución normal de media 2020 minutos. Se ha comprobado que el 84,1%84{,}1\% de los días llega antes de 2222 minutos. Si durante el año acude a su lugar de trabajo 290290 días, ¿cuántos días puede estimar que tardará menos de 1818 minutos en llegar?
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Sofía va al teatro, cine o de concierto con probabilidades 0,50{,}5, 0,20{,}2 y 0,30{,}3. El 60%60\% de las veces que va al cine se encuentra con amigos y se va de cena con los amigos. Lo mismo le ocurre el 10%10\% de las veces que va al teatro y el 90%90\% de las que va de concierto.
a
¿Qué probabilidad hay de que se vaya de cena con los amigos?
b
Si vuelve a casa después del espectáculo, ¿qué probabilidad hay de que haya ido al cine?
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