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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2011Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2011

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real aa: {ax+y+z=aay+z=1ax+y+az=a\begin{cases} ax + y + z = a \\ ay + z = 1 \\ ax + y + az = a \end{cases}
a)1 pts
Discútase el sistema según los diferentes valores de aa.
b)1 pts
Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.
c)1 pts
Resuélvase el sistema para a=3a = 3.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
Se consideran las matrices: A=(−1013k0−k14);B=(310320)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 3 & k & 0 \\ -k & 1 & 4 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
a)1 pts
Calcúlense los valores de kk para los cuales la matriz AA no es invertible.
b)1 pts
Para k=0k = 0, calcúlese la matriz inversa A−1A^{-1}.
c)1 pts
Para k=0k = 0, resuélvase la ecuación matricial AX=BAX = B.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
f(x)=3xx2−2f(x) = \frac{3x}{x^2 - 2}
a)1 pts
Especifíquese su dominio de definición y los puntos de corte de la gráfica de ff con los ejes coordenados. Determínense las asíntotas de ff.
b)1 pts
Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.
c)1 pts
Calcúlese la integral definida ∫23f(x)dx\int_{2}^{3} f(x) dx.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Se considera la función real de variable real definida por: f(x)={axsi x≤−1x2−b4si x>−1f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x} & \text{si } x \leq -1 \\ \frac{x^2 - b}{4} & \text{si } x > -1 \end{cases}
a)1 pts
Calcúlense a,ba, b para que ff sea continua y derivable en x=−1x = -1.
b)1 pts
Para a=1,b=3a = 1, b = 3 represéntese gráficamente la función ff.
c)1 pts
Calcúlese el valor de bb para que ∫03f(x)dx=6\int_{0}^{3} f(x) dx = 6.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
En un edificio inteligente dotado de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad 0,40{,}4, de molinos eólicos con probabilidad 0,260{,}26 y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad 0,10{,}1. Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio:
a)1 pts
por alguna de las dos instalaciones,
b)1 pts
solamente por una de las dos.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
En un cierto punto de una autopista está situado un radar que controla la velocidad de los vehículos que pasan por dicho punto. La probabilidad de que el vehículo que pase por el radar sea un coche es 0,50{,}5, de que sea un camión es 0,30{,}3 y de que sea una motocicleta es 0,20{,}2. La probabilidad de que cada uno de los tres tipos de vehículos supere al pasar por el radar la velocidad máxima permitida es 0,060{,}06 para un coche, 0,020{,}02 para un camión y 0,120{,}12 para una motocicleta. En un momento dado, un vehículo pasa por el radar.
a)1 pts
Calcúlese la probabilidad de que este vehículo supere la velocidad máxima permitida.
b)1 pts
Si el vehículo en cuestión ha superado la velocidad máxima permitida, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una motocicleta?
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Se supone que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en una cierta zona se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica igual a 1515 minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de 400400 espectadores de TV en dicha zona, obteniéndose que el tiempo medio diario dedicado a ver TV es de 33 horas.
a)1 pts
Determínese un intervalo de confianza para μ\mu con un nivel de confianza del 95 %95\,\%.
b)1 pts
¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la estimación de μ\mu sea menor o igual que 33 minutos, con un nivel de confianza del 90 %90\,\%?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Se supone que el precio (en euros) de un refresco se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica igual a 0,090{,}09 euros. Se toma una muestra aleatoria simple del precio del refresco en 1010 establecimientos y resulta: 1,50;1,60;1,10;0,90;1,00;1,60;1,40;0,90;1,30;1,201{,}50 \quad ; \quad 1{,}60 \quad ; \quad 1{,}10 \quad ; \quad 0{,}90 \quad ; \quad 1{,}00 \quad ; \quad 1{,}60 \quad ; \quad 1{,}40 \quad ; \quad 0{,}90 \quad ; \quad 1{,}30 \quad ; \quad 1{,}20
Gráfica de la distribución normal estándar mostrando el área bajo la curva hasta un valor z.
Gráfica de la distribución normal estándar mostrando el área bajo la curva hasta un valor z.
a)1 pts
Determínese un intervalo de confianza al 95 %95\,\% para μ\mu.
b)1 pts
Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y μ\mu sea menor o igual que 0,100{,}10 euros con probabilidad mayor o igual que 0,990{,}99.
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