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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2011Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente examen y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta la opción elegida. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora cientifica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: La puntuación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. TIEMPO: Una hora y treinta minutos
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real aa:{ax+y+z=aay+z=1ax+y+az=a\begin{cases} ax + y + z = a \\ ay + z = 1 \\ ax + y + az = a \end{cases}
a
Discútase el sistema según los diferentes valores de aa.1 pt
b
Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.1 pt
c
Resuélvase el sistema para a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
f(x)=3xx2−2f(x) = \frac{3x}{x^2 - 2}
a
Especifíquese su dominio de definición y los puntos de corte de la gráfica de ff con los ejes coordenados. Determínense las asíntotas de ff.1 pt
b
Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
c
Calcúlese la integral definida ∫23f(x)dx\int_{2}^{3} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En un edificio inteligente dotado de sistemas de energía solar y eólica, se sabe que la energía suministrada cada día proviene de placas solares con probabilidad 0,40{,}4, de molinos eólicos con probabilidad 0,260{,}26 y de ambos tipos de instalaciones con probabilidad 0,10{,}1. Elegido un día al azar, calcúlese la probabilidad de que la energía sea suministrada al edificio:
a
por alguna de las dos instalaciones,1 pt
b
solamente por una de las dos.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Se supone que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en una cierta zona se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica igual a 1515 minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de 400400 espectadores de TV en dicha zona, obteniéndose que el tiempo medio diario dedicado a ver TV es de 33 horas.
a
Determínese un intervalo de confianza para μ\mu con un nivel de confianza del 95 %95\,\%.1 pt
b
¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la estimación de μ\mu sea menor o igual que 33 minutos, con un nivel de confianza del 90 %90\,\%?1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Se consideran las matrices:A=(−1013k0−k14);B=(310320)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 3 & k & 0 \\ -k & 1 & 4 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
a
Calcúlense los valores de kk para los cuales la matriz AA no es invertible.1 pt
b
Para k=0k = 0, calcúlese la matriz inversa A−1A^{-1}.1 pt
c
Para k=0k = 0, resuélvase la ecuación matricial AX=BAX = B.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Se considera la función real de variable real definida por:f(x)={axsi x≤−1x2−b4si x>−1f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x} & \text{si } x \leq -1 \\ \frac{x^2 - b}{4} & \text{si } x > -1 \end{cases}
a
Calcúlense a,ba, b para que ff sea continua y derivable en x=−1x = -1.1 pt
b
Para a=1,b=3a = 1, b = 3 represéntese gráficamente la función ff.1 pt
c
Calcúlese el valor de bb para que ∫03f(x)dx=6\int_{0}^{3} f(x) dx = 6.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En un cierto punto de una autopista está situado un radar que controla la velocidad de los vehículos que pasan por dicho punto. La probabilidad de que el vehículo que pase por el radar sea un coche es 0,50{,}5, de que sea un camión es 0,30{,}3 y de que sea una motocicleta es 0,20{,}2. La probabilidad de que cada uno de los tres tipos de vehículos supere al pasar por el radar la velocidad máxima permitida es 0,060{,}06 para un coche, 0,020{,}02 para un camión y 0,120{,}12 para una motocicleta. En un momento dado, un vehículo pasa por el radar.
a
Calcúlese la probabilidad de que este vehículo supere la velocidad máxima permitida.1 pt
b
Si el vehículo en cuestión ha superado la velocidad máxima permitida, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de una motocicleta?1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Se supone que el precio (en euros) de un refresco se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu y desviación típica igual a 0,090{,}09 euros. Se toma una muestra aleatoria simple del precio del refresco en 1010 establecimientos y resulta: 1,50;1,60;1,10;0,90;1,00;1,60;1,40;0,90;1,30;1,201{,}50 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 1{,}60 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 1{,}10 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 0{,}90 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 1{,}00 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 1{,}60 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 1{,}40 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 0{,}90 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 1{,}30 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 1{,}20
Gráfica de la distribución normal estándar mostrando el área bajo la curva hasta un valor z.
a
Determínese un intervalo de confianza al 95 %95\,\% para μ\mu.1 pt
b
Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra elegida para que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y μ\mu sea menor o igual que 0,100{,}10 euros con probabilidad mayor o igual que 0,990{,}99.1 pt
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