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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAsturiasPAU 2019Ordinaria

Matemáticas CCSS · Asturias 2019

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. El examen presenta dos opciones: A y B. Elige una de ellas y responde razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Sean las matrices A=(21−10)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, B=(xy)B = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, C=(0my)C = \begin{pmatrix} 0 \\ my \end{pmatrix} y D=(12)D = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
a
Si A3⋅B+C=A2⋅DA^3 \cdot B + C = A^2 \cdot D, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por xx e yy) en función del parámetro mm.1 pt
b
¿Para qué valores de mm el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para m=1m = 1.2 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
El precio de una llamada a una línea de pago se descompone en dos conceptos: el establecimiento de llamada (precio fijo) más un coste variable en función de la duración. El coste del establecimiento de llamada es de 1 euro y el coste variable es de 1,21{,}2 euros por cada minuto hablado durante los primeros 30 minutos (inclusive), pasando a tarifar los minutos restantes a partir de ese momento a 0,80{,}8 euros por minuto.
a
Si f(x)f(x) representa el coste total en euros de la llamada en función de la duración en minutos de la misma (xx), obtén la expresión de dicha función ff y estudia su continuidad en el punto x=30x = 30.1 pt
b
Estudia y representa gráficamente la función ff en el intervalo (0,∞)(0, \infty). Si el coste total de una llamada ha sido de 45 euros, ¿cuánto ha durado la llamada?2 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
El abogado A se encargó del 30 % de los casos que llegaron a un bufete el año pasado, de los cuales ganó el 70 % en los tribunales. El abogado B se encargó del 60 % de los casos que llegaron, de los que ganó en los tribunales el 90 %. Por último, el abogado C se encargó del 10 % restante de casos, ganando en los tribunales el 50 % de ellos. Si se elige al azar un caso que los que llegó el año pasado al bufete:
a
¿Cuál es la probabilidad de que se haya ganado en los tribunales?1 pt
b
Si el caso elegido se ganó, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya llevado el abogado B?1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Se supone que el tiempo de cada consulta en un determinado centro de salud sigue aproximadamente una distribución normal con desviación típica 1,51{,}5 minutos.
Datos
  • sigma=1,5\\sigma = 1{,}5
  • n=961n = 961
  • barx=6\\bar{x} = 6
a
Para estimar dicho tiempo medio por consulta, se considera una muestra aleatoria de 961 consultas, las cuales han tenido una duración media de 6 minutos. Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la duración media de las consultas en ese centro de salud, al 95 % de confianza.1 pt
b
¿Cuál sería el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la verdadera duración media por consulta a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 0,20{,}2 minutos y un nivel de confianza del 95 %?1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Una empresa de joyería tiene dos máquinas A y B con las que puede hacer anillos, pulseras y collares y tiene que decidir el número de horas de trabajo de cada una de las máquinas para la próxima semana. En cada hora de trabajo, la máquina A realiza 1 anillo, 4 pulseras y 2 collares, mientras que la máquina B realiza 4 anillos, 2 pulseras y 3 collares. Durante la próxima semana, la empresa debe producir al menos 80 anillos, 96 pulseras y 120 collares.
a
¿Cuántas horas debe trabajar cada máquina para satisfacer estos requisitos de demanda? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría usarse 10 horas la máquina A y 30 horas la B?2 pts
b
El coste por cada hora de trabajo de la máquina A es de 2500 euros y el de la máquina B es de 2000 euros. ¿Cuántas horas tiene que trabajar cada máquina para minimizar el coste total? ¿a cuánto asciende dicho coste mínimo?1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
La variación instantánea de la cotización viene dada por la función f(x)=0,02x2+1f(x) = 0{,}02x^2 + 1 donde xx representa el tiempo que lleva cotizando desde el comienzo de la semana. Se pide:
a
Determinar la función cotización FF, si se sabe que dicha función es la primitiva de ff y que en el momento inicial la cotización era de 5.0,75 pts
b
Estudiar y representar gráficamente la función gg definida como g(x)=f(x)−9,∀x∈Rg(x) = f(x) - 9, \forall x \in \mathbb{R} y calcular el área limitada por la curva gg y el eje X entre x=0x = 0 y x=3x = 3.2,25 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En el almacén de un supermercado hay 400 tetrabriks de leche de la marca A y 100 de la marca B. Además se sabe que el 5 % de los tetrabriks de la marca A están caducados, así como el 10 % de los tetrabriks de la marca B. Si se elige un tetrabrik de leche al azar de esos 500 tetrabriks que hay en el almacén, se pide:
a
Determinar la probabilidad de que sea de la marca B y no esté caducado.1 pt
b
Determinar la probabilidad de que sea de la marca B o esté caducado.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para hacer un estudio sobre el uso de las nuevas tecnologías (NT) por parte de los adolescentes, se tomó una muestra aleatoria de 100 adolescentes, de los cuales 10 respondieron que las usaban 4 horas a la semana, 15 que las usaban 5 horas por semana, 20 que las usaban 7 horas por semana y otros 20 que las usaban 8 horas por semana, 15 adolescentes dijeron que las usaban 9 horas a la semana, 10 que las usaban 10 horas y otros 10 que las usaban 15 horas. Su supone además que el tiempo que dedican semanalmente a las nuevas tecnologías los adolescentes sigue una distribución normal con desviación típica 1,71{,}7 horas.
Datos
  • sigma=1,7\\sigma = 1{,}7
  • n=100n = 100
a
Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para el tiempo medio semanal dedicado a las NT por los adolescentes, al 90 % de confianza.1 pt
b
Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la proporción de adolescentes que usan las nuevas tecnologías más de 6 horas a la semana, al 90 % de confianza.1 pt
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