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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean los vectores u⃗=(−1,4,8)\vec{u} = (-1, 4, 8) y v⃗=(1,2,−2)\vec{v} = (1, 2, -2).
a
Demuestre que el ángulo entre los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} es mayor que 90∘90^{\circ}.
b
Calcule un vector perpendicular a u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} que tenga módulo 1.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
En una empresa frutícola, la producción por árbol sigue una distribución normal de media 54,3 kg54{,}3\,\text{kg} y desviación típica de 6,5 kg6{,}5\,\text{kg}.
a
¿Cuál es el porcentaje de árboles que producen más de 57 kg57\,\text{kg}?
b
¿Qué porcentaje de árboles producen entre 5050 y 57 kg57\,\text{kg}?
c
Si se escoge al azar un árbol que está dentro del 70 %70\,\% de los árboles que menos producen, ¿a lo sumo cuántos kilogramos debería producir?
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea f(x)=xe−axf(x) = x e^{-ax}
a
Calcule, según los valores de aa, las asíntotas de f(x)f(x).
b
Halle el valor de aa para que ff tenga en x=1x = 1 un extremo relativo. ¿Es un máximo o un mínimo relativo?
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sea el sistema de ecuaciones{cx+y−2z=6cx−2y+z=0−2x+y+cz=−6\begin{cases} cx + y - 2z = 6 \\ cx - 2y + z = 0 \\ -2x + y + cz = -6 \end{cases}
a
Discuta el sistema anterior para los distintos valores del parámetro cc.
b
Halle la solución o soluciones, si existen, cuando el parámetro cc es 1.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Una mujer, que sospecha estar embarazada, acude a la consulta del médico. Al examinarla cuidadosamente, el médico cree que está embarazada con una probabilidad de 0,60{,}6. Para confirmar el diagnóstico, el médico encarga un test que da negativo en el 4 %4\,\% de los casos que la mujer está realmente embarazada. Mientras que el test da positivo en el 5 %5\,\% de los casos en los que la mujer no está embarazada. Calcule la probabilidad de que:
a
El test dé positivo.
b
La mujer esté embarazada sabiendo que el test da positivo.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Sean el punto P=(1,2,−2)P = (1, 2, -2) y la recta r:{x=2−λy=1+λz=2λr : \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}
a
Determine la ecuación del plano que contiene al punto PP y es perpendicular a la recta rr.
b
Determine el punto de rr más próximo a PP.
c
Halle la recta r′r' simétrica de rr respecto al punto PP.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea f(x)=xe−axf(x) = x e^{-ax}
a
Calcule, según los valores de aa, las asíntotas de f(x)f(x).
b
Halle el valor de aa para que ff tenga en x=1x = 1 un extremo relativo. ¿Es un máximo o un mínimo relativo?
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sea el sistema de ecuaciones{cx+y−2z=6cx−2y+z=0−2x+y+cz=−6\begin{cases} cx + y - 2z = 6 \\ cx - 2y + z = 0 \\ -2x + y + cz = -6 \end{cases}
a
Discuta el sistema anterior para los distintos valores del parámetro cc.
b
Halle la solución o soluciones, si existen, cuando el parámetro cc es 1.
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