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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2017

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
1,5 puntos
M=(−2−1)M = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix}
a
Realiza el producto M⋅MtM \cdot M^t (siendo MtM^t la matriz transpuesta de MM).0,5 pts
b
Despeja XX en la siguiente expresión matricial: P⋅X=M⋅MtP \cdot X = M \cdot M^t. Siendo P=(−2−334)P = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, obtén la expresión de la matriz XX del apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
1,5 puntos
Considera el siguiente problema de programación lineal: Minimizar la función F=5x+3yF = 5x + 3y sujeta a las siguientes restricciones: x+2y≤16;5x+4y≥38;4y−x≥2x + 2y \leq 16 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 5x + 4y \geq 38 \quad\allowbreak ; \quad\allowbreak 4y - x \geq 2
a
Dibuja la región factible.1 pt
b
Determina los vértices de la región factible.0,25 pts
c
Indica la solución óptima del problema dado y su valor.0,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
A través de una página de internet se han vendido hoy 320 entradas para tres eventos distintos: un estreno de cine, una función teatral y un concierto de música. El valor de lo recaudado en total por esta venta de entradas es de 6460 euros. Sabemos que una entrada de cine vale 8 euros, una de teatro 20 euros y una para el concierto de música vale 30 euros. El número de entradas para el concierto musical es triple que las de teatro.
a
Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas entradas se han vendido para cada uno de los eventos.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Un coleccionista de objetos antiguos tiene 40 pesas; algunas son de 200 g, otras son de 100 g y también tiene algunas pesas de 50 g. El número de pesas de 50 g supera en ocho a la suma de las pesas de 200 g y las de 100 g. Todas las pesas juntas nos dan un peso total de 3400 g.
a
Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuántas pesas de cada valor posee el coleccionista.1,5 pts
b
Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={x2+x−3si x≤1x+tsi x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 3 & \text{si } x \leq 1 \\ x + t & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
¿Para qué valor de tt la función f(x)f(x) es continua en x=1x = 1?0,5 pts
b
Para t=0t = 0, calcula los extremos relativos de la función f(x)f(x) en el intervalo (−∞,1)(-\infty, 1).0,5 pts
c
Para t=0t = 0, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x) en (−∞,1)(-\infty, 1).0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
1,5 puntos
Se considera la función f(x)={(x+2)2si x≤1(x−2)2+tsi x>1f(x) = \begin{cases} (x + 2)^2 & \text{si } x \leq 1 \\ (x - 2)^2 + t & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Halla el valor de tt para que ff sea continua en x=1x = 1.0,5 pts
b
Para t=0t = 0, representa gráficamente la función ff.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1,5 puntos
De la función H(x)=ax3+bx+cH(x) = ax^3 + bx + c sabemos que tiene un punto de inflexión en (0,2/3)(0, 2/3) y un máximo relativo en el punto (4,6)(4, 6). Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros aa, bb y cc.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1,5 puntos
En cierta sala de cine, una película permanece en cartel 16 semanas. La recaudación en taquilla de esta película a lo largo de cada una de esas 16 semanas se ajusta a la función: F(x)=13x3−152x2+36x+150F(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{15}{2}x^2 + 36x + 150 donde 0≤x≤160 \leq x \leq 16 está en semanas y F(x)F(x) es la recaudación en cientos de euros.
a
Cuál es la recaudación en el momento del estreno (x=0x=0) y cuál es la recaudación al final (x=16x=16).0,5 pts
b
En qué intervalo o intervalos crece esta función y en cuál o cuáles decrece.0,5 pts
c
En qué momentos se alcanzan las recaudaciones máxima y mínima respectivamente, y a cuánto ascienden estas recaudaciones.0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1,5 puntos
En un instituto el 45 % de los estudiantes son de la modalidad de Ciencias, el 35 % son de la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales y el resto son de la modalidad de Arte. También se sabe que el 10 % de los estudiantes de Ciencias tienen una nota media superior a 8, el 20 % de los de Humanidades y Ciencias Sociales y el 25 % de los de la modalidad de Arte.
a
Calcule la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, tenga una nota media superior a 8.0,75 pts
b
Si tenemos un estudiante que tiene una nota media menor o igual a 8, ¿cuál es la probabilidad de que sea Ciencias?0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1,5 puntos
En una empresa hay dos categorías para los empleados, en la categoría A se encuentra el 80 % de los empleados y el resto en la B. El 10 % de los empleados de la categoría A tiene contrato temporal mientras que en la categoría B este porcentaje es del 30 %.
a
Elegido un empleado al azar de esa empresa, ¿cuál es la probabilidad de que tenga contrato temporal?0,75 pts
b
Se escoge un empleado al azar y tiene contrato temporal, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la categoría B?0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Los tiempos que tardan unos corredores en recorrer 6 kilómetros sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=10\sigma = 10 minutos. Se eligen al azar 10 corredores y se mide el tiempo que tardan en hacer los seis kilómetros, siendo estos: 15, 19, 20, 22, 24, 25, 27, 28, 30 y 32 minutos respectivamente.
Datos
  • σ=10 minutos\sigma = 10\,\text{minutos}
a
Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo medio que tarda los corredores en hacer los 6 kilómetros, con un nivel de confianza del 95 %.1,25 pts
b
¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 1 minuto?0,75 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
El gasto por hogar en teléfonos móviles e internet sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica σ=30\sigma = 30 euros. Tomando una muestra aleatoria de 9 hogares, se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza para la media poblacional (128,3,171,7)(128{,}3, 171{,}7).
Datos
  • σ=30 euros\sigma = 30\,\text{euros}
a
Calcula el nivel de confianza del intervalo y calcula el valor que se obtuvo para la media muestral.1,25 pts
b
¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 96{,}6 %?0,75 pts
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