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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2017

10 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Considere las matrices A=(−2012)A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, B=(1322)B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} y C=(02−12)C = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a)1,5 pts
Compruebe que las matrices A y B son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.
b)1 pts
Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB=CAXB = C.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa: {2x+y+2z=02x+3y+2z=0x−y+a2z=a−1\begin{cases} 2x + y + 2z = 0 \\ 2x + 3y + 2z = 0 \\ x - y + a^2z = a - 1 \end{cases}
a)0,75 pts
Determine para qué valores del parámetro aa el sistema tiene solución única. No hay que resolverlo.
b)1,25 pts
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c)0,5 pts
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema no tiene solución.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Considere el plano π\pi que pasa por el punto P=(1,2,3)P = (1, 2, 3) y tiene como vectores directores a u⃗=(1,−1,0)\vec{u} = (1, -1, 0) y v⃗=(1,0,2)\vec{v} = (1, 0, 2). Considere la recta rr que pasa por los puntos A=(1,0,4)A = (1, 0, 4) y B=(3,2,2)B = (3, 2, 2).
a)0,75 pts
Determine la ecuación de π\pi.
b)0,75 pts
Determine la ecuación de rr.
c)1 pts
Estudie la posición relativa de π\pi y rr.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Los vértices de un triángulo ABC son A=(a,1,1)A = (a, 1, 1), B=(2,1,2)B = (2, 1, 2), C=(1,2a,3)C = (1, 2a, 3).
a)1,5 pts
¿Cuánto ha de valer aa para que el triángulo sea rectángulo en BB?
b)1 pts
Calcule el área del triángulo ABC para el caso a=1a = 1.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Calcule los siguientes límites:
a)1 pts
lim⁡x→4(1x−2−4x−4)\lim_{x \to 4} \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4}{x - 4} \right)
b)1 pts
lim⁡x→0sen⁡x−xcos⁡xx−sen⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x - x \cos x}{x - \operatorname{sen} x}
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
La producción mensual de una fábrica de bombillas viene dada por P=2LK2P = 2LK^2 (en millones), donde LL es el coste de la mano de obra y KK es el coste del equipamiento (en millones de euros). La fábrica pretende producir 8 millones de unidades al mes. ¿Qué valores de LL y KK minimizarían el coste total L+KL + K?
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
a)1,5 pts
Calcule la siguiente integral indefinida ∫xsen⁡(πx2)dx\int x \operatorname{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx.
b)0,5 pts
Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales x=0x = 0 y x=1x = 1, y la gráfica de la función f(x)=xsen⁡(πx2)f(x) = x \operatorname{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right).
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida ∫xx2+x−6dx\int \frac{x}{x^2 + x - 6} dx.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
1 punto
Según un estudio reciente, el 68% de los encuestados poseen un smartphone, el 38% tienen una tablet y el 16% disponen de ambos dispositivos.
a)0,5 pts
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar no disponga de ninguno de los dos dispositivos.
b)0,5 pts
Resulta que la persona elegida posee un smartphone, ¿qué probabilidad hay de que tenga una tablet?
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
1 punto
Dos aulas de 2∘2^{\circ} de Bachillerato hacen conjuntamente un examen de Matemáticas. En el primer grupo hay 25 alumnos de los cuales aprueba el 64%, mientras que en el segundo grupo, de 30 alumnos, lo hace el 70%. De entre todos los exámenes se elige uno al azar y resulta que está aprobado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de un alumno del primer grupo?
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