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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2017

5 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las matrices A=(−2012)A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, B=(1322)B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} y C=(02−12)C = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a
Compruebe que las matrices A y B son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas.1,5 pts
b
Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB=CAXB = C.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere el plano π\pi que pasa por el punto P=(1,2,3)P = (1, 2, 3) y tiene como vectores directores a u⃗=(1,−1,0)\vec{u} = (1, -1, 0) y v⃗=(1,0,2)\vec{v} = (1, 0, 2). Considere la recta rr que pasa por los puntos A=(1,0,4)A = (1, 0, 4) y B=(3,2,2)B = (3, 2, 2).
a
Determine la ecuación de π\pi.0,75 pts
b
Determine la ecuación de rr.0,75 pts
c
Estudie la posición relativa de π\pi y rr.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→4(1x−2−4x−4)\lim_{x \to 4} \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4}{x - 4} \right)1 pt
b
lim⁡x→0sen⁡x−xcos⁡xx−sen⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x - x \cos x}{x - \operatorname{sen} x}1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcule la siguiente integral indefinida ∫xsen⁡(πx2)dx\int x \operatorname{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right) dx.1,5 pts
b
Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales x=0x = 0 y x=1x = 1, y la gráfica de la función f(x)=xsen⁡(πx2)f(x) = x \operatorname{sen} \left( \frac{\pi x}{2} \right).0,5 pts
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Ejercicio 5

5
1 punto
Según un estudio reciente, el 68% de los encuestados poseen un smartphone, el 38% tienen una tablet y el 16% disponen de ambos dispositivos.
a
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar no disponga de ninguno de los dos dispositivos.0,5 pts
b
Resulta que la persona elegida posee un smartphone, ¿qué probabilidad hay de que tenga una tablet?0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{2x+y+2z=02x+3y+2z=0x−y+a2z=a−1\begin{cases} 2x + y + 2z = 0 \\ 2x + 3y + 2z = 0 \\ x - y + a^2z = a - 1 \end{cases}
a
Determine para qué valores del parámetro aa el sistema tiene solución única. No hay que resolverlo.0,75 pts
b
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.1,25 pts
c
Determine para qué valor del parámetro aa el sistema no tiene solución.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Los vértices de un triángulo ABC son A=(a,1,1)A = (a, 1, 1), B=(2,1,2)B = (2, 1, 2), C=(1,2a,3)C = (1, 2a, 3).
a
¿Cuánto ha de valer aa para que el triángulo sea rectángulo en BB?1,5 pts
b
Calcule el área del triángulo ABC para el caso a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
La producción mensual de una fábrica de bombillas viene dada por P=2LK2P = 2LK^2 (en millones), donde LL es el coste de la mano de obra y KK es el coste del equipamiento (en millones de euros). La fábrica pretende producir 8 millones de unidades al mes. ¿Qué valores de LL y KK minimizarían el coste total L+KL + K?
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida ∫xx2+x−6dx\int \frac{x}{x^2 + x - 6} dx.
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Ejercicio 5

5
1 punto
Dos aulas de 2∘2^{\circ} de Bachillerato hacen conjuntamente un examen de Matemáticas. En el primer grupo hay 25 alumnos de los cuales aprueba el 64%, mientras que en el segundo grupo, de 30 alumnos, lo hace el 70%. De entre todos los exámenes se elige uno al azar y resulta que está aprobado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de un alumno del primer grupo?
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