Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2017

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.

1Opción A

1,5 puntos

Despeja

X

en la siguiente expresión matricial:

M \cdot X \cdot N = P

.0,5 pts

0,5 pts

Despeja y calcula

X

en la siguiente ecuación matricial:

\begin{pmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot X \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = I

donde

I

es la matriz identidad de orden 2.1 pt

1 pt

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1Opción B

1,5 puntos

Un transportista debe llevar en su camión sacos de cemento y sacos de yeso con las siguientes condiciones: El número de sacos de cemento estará entre 25 y 100 y el número de sacos de yeso estará entre 30 y 90. El transportista sabe que un saco de cemento pesa

30\,\text{kg}

y un saco de yeso pesa

20\,\text{kg}

, y se propone cumplir las condiciones llevando en su camión el menor peso posible.

Expresa la función objetivo.0,25 pts

0,25 pts

Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido.0,75 pts

0,75 pts

Halla el número de sacos de cada clase que debe llevar para que el peso transportado sea mínimo.0,5 pts

0,5 pts

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2Opción A

2 puntos

Un coleccionista tiene pesas antiguas de tres pesos distintos. Tiene 8 del mayor peso; 12 de un peso intermedio y 20 del menor peso. Todas las pesas juntas nos dan un peso total de

3800\,\text{g}

. Una pesa intermedia pesa la mitad que una de las mayores. Cuatro pesas de las menores equivalen a una mayor.

Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuál es el valor en gramos de cada uno de los tres tipos de pesas.1,5 pts

1,5 pts

Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts

0,5 pts

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2Opción B

2 puntos

A través de una página de internet se han vendido hoy entradas para tres eventos distintos: 120 entradas para un estreno de cine, 50 entradas para una función teatral y 150 entradas para un concierto de música. El valor total de lo recaudado en total por esta venta de entradas es de

6460

euros. Sabemos que el precio de dos entradas de teatro equivale al de cinco entradas de cine. El precio de dos entradas para el concierto musical equivale al de tres entradas de teatro.

Plantea un sistema de ecuaciones que nos permita averiguar cuánto vale cada una de las entradas para cada evento.1,5 pts

1,5 pts

Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior.0,5 pts

0,5 pts

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3Opción A

1,5 puntos

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} x + 2t & \text{si } x \leq 0 \\ (x + t)^3 - x & \text{si } x > 0 \end{cases}

¿Para qué valor de

t

la función

f(x)

es continua en

x=0

?0,5 pts

0,5 pts

Para

t = 0

, calcula los extremos relativos de la función

f(x)

en el intervalo

(0, +\infty)

.0,5 pts

0,5 pts

Para

t = 0

, calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

f(x)

(0, +\infty)

.0,5 pts

0,5 pts

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3Opción B

1,5 puntos

Se considera la función

f(x) = \begin{cases} (x + 4)^2 & \text{si } x < -1 \\ 4 & \text{si } -1 \leq x \leq 1 \\ (tx - 6)^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}

Halla el valor de

t

para que

f

sea continua en

x = 1

.0,5 pts

0,5 pts

Para

t = 2

, representa gráficamente la función

f

.1 pt

1 pt

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4Opción A

1,5 puntos

De la función

J(x) = ax^4 + bx^3 + cx

sabemos que en el origen de coordenadas, su derivada toma el valor

-2

. Además sabemos que tiene un punto de inflexión en

(2, 0)

. Con estos datos, halla razonadamente los valores de los parámetros

a

b

c

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4Opción B

1,5 puntos

Un ciclista da una vuelta completa a un circuito de modo que su velocidad a lo largo de este recorrido se ajusta a la función:

V(x) = -\frac{1}{20}x^4 + \frac{1}{2}x^3

donde

V(x)

está en

\text{km/h}

x

en minutos, siendo

x \geq 0

V(x) \geq 0

. Se pide:

Teniendo en cuenta que el ciclista se detiene cuando completa una vuelta al circuito, calcula cuánto tiempo tarda en completarlo.0,5 pts

0,5 pts

Determina en qué intervalo su velocidad es creciente y en qué intervalo es decreciente.0,5 pts

0,5 pts

Determina en qué instante alcanza la velocidad máxima y cuál es esa velocidad.0,5 pts

0,5 pts

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5Opción A

1,5 puntos

De un estudio sobre accidentes de tráfico se dedujeron los siguientes datos: el

29\,\%

de los conductores superaron los límites de alcohol en sangre, el

14\,\%

de los conductores tenía presencia de drogas en sangre y el

37\,\%

superaba los límites de alcohol o tenía presencia de drogas en sangre o ambas.

Calcula la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, el conductor supere los límites de alcohol y tenga presencia de drogas en sangre.0,75 pts

0,75 pts

Razone si son independientes los sucesos superar los límites de alcohol y presencia de drogas en sangre.0,75 pts

0,75 pts

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5Opción B

1,5 puntos

Una persona que fuma habitualmente tiene una probabilidad

0{,}1

de padecer cáncer de pulmón en el transcurso de su vida. Suponiendo que el hecho de que una persona padezca cáncer de pulmón es independiente de que otra lo padezca.

Si dos personas fuman habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que las dos padezcan cáncer de pulmón?0,25 pts

0,25 pts

¿Cuál es la probabilidad de que padezcan cáncer de pulmón al menos una de cuatro personas que fuman habitualmente?0,5 pts

0,5 pts

¿Cuál es la probabilidad de que padezca cáncer de pulmón exactamente una persona de dos que fuman habitualmente?0,75 pts

0,75 pts

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6Opción A

2 puntos

El rendimiento por árbol de una especie de pistacho sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica

\sigma = 1{,}2

kilos. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 40 y se calcula la media muestral, siendo esta igual a

6{,}7

kilos.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del rendimiento con un nivel de confianza del

95\,\%

.1 pt

1 pt

Explica razonadamente el efecto que tendría sobre el intervalo de confianza el aumento o la disminución del nivel de confianza.0,5 pts

0,5 pts

¿Es razonable que la media de rendimiento de esta especie sea

\mu = 5

kilos, con un nivel de confianza del

90\,\%

? Razona tu respuesta.0,5 pts

0,5 pts

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6Opción B

2 puntos

El gasto mensual en electricidad (sin incluir los impuestos) sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica

\sigma = 7

euros. Se eligen al azar 10 hogares y se pide el gasto mensual, siendo estos: 25, 29, 30, 32, 24, 28, 31, 32, 33 y 32 euros respectivamente.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del gasto por hogar, con un nivel de confianza del

97\,\%

.1,25 pts

1,25 pts

¿Cuál deberá ser el tamaño mínimo de la muestra para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 2 euros?0,75 pts

0,75 pts

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z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767

Instrucciones

Ejercicio 1 · Opción A

Ejercicio 1 · Opción B

Ejercicio 2 · Opción A

Ejercicio 2 · Opción B

Ejercicio 3 · Opción A

Ejercicio 3 · Opción B

Ejercicio 4 · Opción A

Ejercicio 4 · Opción B

Ejercicio 5 · Opción A

Ejercicio 5 · Opción B

Ejercicio 6 · Opción A

Ejercicio 6 · Opción B