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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
1. Debe escoger solo cuatro ejercicios elegidos entre los ocho de que consta el examen. 2. Si realiza más de cuatro ejercicios solo se corregirán los cuatro primeros, según el orden que aparecen resueltos en el cuadernillo de examen. 3. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 4. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 5. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro tt:{x+(1−t)y=t(1+t)x−3y=−t\begin{cases} x + (1 - t)y = t \\ (1 + t)x - 3y = -t \end{cases}
1
Determina para qué valores de tt el sistema tiene solución única y resuélvelo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro tt si es necesario.1 pt
2
Determina para qué valores de tt el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvelo en ese caso.1 pt
3
Determina para qué valores de tt el sistema no tiene solución.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función f(x)=1−cos⁡(x)xf(x) = \frac{1 - \cos(x)}{x}.
1
Calcula la derivada primera.0,5 pts
2
Calcula la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=πx = \pi.0,5 pts
3
Calcula lim⁡x→0f(x)\lim_{x \to 0} f(x).1 pt
4
Calcula las asíntotas.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera los puntos A=(2,1,5)A = (2, 1, 5), B=(3,4,1)B = (3, 4, 1) y la recta r={x=3−λy=4−3λz=1−4λr = \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 4 - 3\lambda \\ z = 1 - 4\lambda \end{cases}
1
Se emite un rayo láser desde el punto AA. Calcula la ecuación de la recta que contiene al rayo láser para que impacte en el punto BB.0,5 pts
2
Calcula la ecuación de una recta que pase por BB y sea perpendicular al rayo y a la recta rr.1 pt
3
Calcula la ecuación del plano que contiene al rayo y a la recta rr.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Un tenista juega el 20% de sus partidos en tierra batida y el resto en otras superficies. Jugando en tierra batida gana el 90% de sus partidos, pero en otras superficies, solo consigue ganar el 40% de los partidos.
1
Calcula la probabilidad de que gane un partido concreto, sin que sepamos en qué superficie juega.1,25 pts
2
Calcula la probabilidad de que haya jugado un partido concreto en tierra batida sabiendo que ha ganado dicho partido.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considera la ecuación matricial AX−X=BAX - X = B, siendo A=(2−11a)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix}, B=(30−63)B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -6 & 3 \end{pmatrix}, en donde aa es un parámetro real.
1
Despeja la matriz XX de la ecuación anterior.1 pt
2
Halla los valores de aa para los que no es posible calcular XX.0,5 pts
3
Calcula XX para a=1a = 1.1 pt
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considera la función f(x)={sen⁡(x)si x≤π/22x+asi x>π/2f(x) = \begin{cases} \sen(x) & \text{si } x \leq \pi / 2 \\ \frac{2}{x} + a & \text{si } x > \pi / 2 \end{cases}, siendo aa un parámetro real.
1
Halla aa para que f(x)f(x) sea continua.0,5 pts
2
Calcula lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x).0,5 pts
3
Halla una primitiva de f(x)f(x) para x≤π/2x \leq \pi / 2.0,5 pts
4
Calcula el área de la región limitada por la función y=f(x)y = f(x), las rectas x=0x = 0, x=π/2x = \pi / 2, y el eje OXOX de abscisas.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera los puntos A=(1,3,1)A = (1, 3, 1), B=(4,1,−2)B = (4, 1, -2), C=(3,5,2)C = (3, 5, 2), D=(1,1,3)D = (1, 1, 3).
1
Halla la ecuación del plano, Π\Pi, que contiene los puntos AA, BB, CC.1 pt
2
Comprueba si el punto DD está contenido en el plano Π\Pi.0,5 pts
3
Calcula el ángulo que forman los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
En la Unión Europea hay aproximadamente 250 millones de hombres adultos, de los cuales 12 millones miden más de 190 cm. En Holanda hay aproximadamente 7 millones de hombres adultos, cuya altura sigue una distribución normal con media 184 cm y desviación típica 7 cm. Supongamos que elegimos un hombre adulto al azar de toda la Unión Europea.
1
Calcula la probabilidad de que mida más de 190 cm.0,25 pts
2
Calcula la probabilidad de que sea holandés.0,25 pts
3
Calcula la probabilidad de que mida más de 190 cm sabiendo que es holandés.1 pt
4
Calcula la probabilidad de que sea holandés sabiendo que mide más de 190 cm.1 pt
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