Matemáticas II · Andalucía 2012

Sea la función $f: [1, e] \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2 - 8 \ln(x)$ donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

Sea la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = e^x (x^2 - x + 1)$

Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^3 - 4x$

Sean $f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas por $f(x) = x^2 - 2x$ y $g(x) = -x^2 + 4x$ respectivamente.

Considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + (k + 1)y + 2z = -1 \\ kx + y + z = 2 \\ x - 2y - z = k + 1 \end{cases}$$

Encuentra la matriz $X$ que satisface la ecuación $XA + A^3 B = A$, siendo $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Dadas las rectas $r \equiv \frac{x + 3}{-6} = \frac{y - 9}{4} = \frac{z - 8}{4}$ y $s \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 9}{-2} = \frac{z - 8}{-2}$

Los puntos $A(1, 1, 5)$ y $B(1, 1, 2)$ son vértices consecutivos de un rectángulo $ABCD$. El vértice $C$, consecutivo a $B$, está en la recta $x = \frac{y - 6}{-2} = \frac{z + 1}{2}$. Determina los vértices $C$ y $D$.