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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2012Variante 2

Matemáticas II · Andalucía 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f:[1,e]→Rf: [1, e] \to \mathbb{R} definida por f(x)=x2−8ln⁡(x)f(x) = x^2 - 8 \ln(x) donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano.
a
Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.0,75 pts
b
Calcula los extremos absolutos y relativos de la función ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1 pt
c
Estudia los intervalos de concavidad y de convexidad.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x
a
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 10,75 pts
b
Esboza el recinto limitado por la gráfica de ff y la recta y=−x−2y = -x - 2, determinando los puntos de corte de ambas gráficas.0,75 pts
c
Calcula el área del recinto anterior.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones{x+(k+1)y+2z=−1kx+y+z=2x−2y−z=k+1\begin{cases} x + (k + 1)y + 2z = -1 \\ kx + y + z = 2 \\ x - 2y - z = k + 1 \end{cases}
a
Clasifícalo según los distintos valores de kk.1,75 pts
b
Resuélvelo para el caso k=2k = 2.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas r≡x+3−6=y−94=z−84r \equiv \frac{x + 3}{-6} = \frac{y - 9}{4} = \frac{z - 8}{4} y s≡x−33=y−9−2=z−8−2s \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 9}{-2} = \frac{z - 8}{-2}
a
Determina la posición relativa de las rectas rr y ss.1 pt
b
Calcula la distancia entre rr y ss.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=ex(x2−x+1)f(x) = e^x (x^2 - x + 1)
a
Calcula lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x) y lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x)0,75 pts
b
Halla los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando si son máximos o mínimos.1,25 pts
c
Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean f,g:R→Rf, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} las funciones definidas por f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x y g(x)=−x2+4xg(x) = -x^2 + 4x respectivamente.
a
Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan.0,75 pts
b
Calcula el área de dicho recinto.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Encuentra la matriz XX que satisface la ecuación XA+A3B=AXA + A^3 B = A, siendoA=(001010100)yB=(2−1002−1−102)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Los puntos A(1,1,5)A(1, 1, 5) y B(1,1,2)B(1, 1, 2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCDABCD. El vértice CC, consecutivo a BB, está en la recta x=y−6−2=z+12x = \frac{y - 6}{-2} = \frac{z + 1}{2}. Determina los vértices CC y DD.
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