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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. TIEMPO Y CALIFICACIÓN: 90 minutos. Cada ejercicio se calificará sobre 2,5 puntos. El estudiante deberá indicar la agrupación de preguntas que responderá. La selección de preguntas deberá realizarse conforme a las instrucciones planteadas, no siendo válido seleccionar preguntas que sumen más de 10 puntos, ni agrupaciones de preguntas que no coincidan con las indicadas, lo que puede conllevar la anulación de alguna pregunta que se salga de las instrucciones.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Dado x∈Rx \in \mathbb{R} y las matrices A=(−1−1−2−1x−1−3121)A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & x - 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, B=(1−11)B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} y C=(1−11)C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcula los valores de xx para los cuales la matriz AA no posee inversa.1 pt
b
Calcula el rango de AA según los valores de xx.0,75 pts
c
Para x=1x = 1, calcula en caso de que sea posible A⋅BA \cdot B y A⋅CA \cdot C o indica por qué no se puede realizar.0,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Dado m∈Rm \in \mathbb{R}, se considera el sistema lineal {2x+y+z=1x+2y+z=−13x+3y+2z=m\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x + 2y + z = -1 \\ 3x + 3y + 2z = m \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de mm y resuélvelo en los casos en los que sea posible.1,75 pts
b
Estudia si es posible encontrar una solución en la que z=3z = 3.0,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Se considera la función f(x)=2x21−xf(x) = \frac{2x^2}{1 - x}.
a
Calcula el dominio de la función ff y sus asíntotas.0,75 pts
b
Halla en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.1,25 pts
c
Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
Dada la función f(x)=−sen⁡(2x)+1f(x) = -\operatorname{sen}(2x) + 1,
a
Calcula una primitiva que pase por el origen de coordenadas.1,25 pts
b
Calcula el área limitada por ff, el eje XX y las rectas x=0x = 0 y x=πx = \pi.1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Dadas las rectas r≡{x=1+αy=1z=−αr \equiv \begin{cases} x = 1 + \alpha \\ y = 1 \\ z = -\alpha \end{cases}, ss perpendicular a rr y el vector V⃗=(1,1,1)\vec{V} = (1, 1, 1).
a
Calcula v⃗r\vec{v}_r un vector director de rr.0,5 pts
b
Calcula un vector u⃗\vec{u} director de ss tal que u⃗×v⃗r\vec{u} \times \vec{v}_r es proporcional a V⃗\vec{V}.1 pt
c
Calcula la ecuación del plano que contiene a las rectas rr y s′s', siendo s′≡x−1=y−1−2=zs' \equiv x - 1 = \frac{y - 1}{-2} = z.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Dados los puntos A=(1,0,1)A = (1, 0, 1), B=(1,6,1)B = (1, 6, 1), C=(−2,−1,5)C = (-2, -1, 5) y E=(−1,1,1)E = (-1, 1, 1).
a
Calcula la ecuación del plano π\pi que contiene a los puntos AA, BB y CC.0,5 pts
b
Calcula las coordenadas del punto DD para que el polígono ABCDABCD sea un paralelogramo y el área de ABCDABCD.1,25 pts
Representación de un paralelogramo con vértices A, B, C y D
c
Halla la ecuación de la recta perpendicular al plano π\pi y que pasa por EE.0,75 pts
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
En una oficina del ayuntamiento se asigna un número a cada persona que entra. Se observa que el 70%70\% de las personas que entran son mujeres. El 40%40\% de los hombres y el 30%30\% de las mujeres que entran son menores de 3030 años.
a
Calcule la probabilidad de que un número sea asignado a una persona menor de 3030 años.0,75 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que un número sea asignado a un hombre que no tiene menos de 3030 años?0,5 pts
c
Si la persona a la que se le ha asignado un número no tiene menos de 3030 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?1,25 pts
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
Se está estudiando la altura de la población adulta de una cierta ciudad y se observa que el modelo se rige por una distribución normal con media 1,75 m1{,}75\,\text{m} y desviación típica 0,65 m0{,}65\,\text{m}.
Datos
  • F(x)=P(Z≤x)F(x) = P(Z \leq x)
  • F(0)=0,5F(0) = 0{,}5
  • F(0,15)=0,6F(0{,}15) = 0{,}6
  • F(0,1538)=0,5596F(0{,}1538) = 0{,}5596
  • F(0,65)=0,7422F(0{,}65) = 0{,}7422
  • F(0,385)=0,65F(0{,}385) = 0{,}65
a
Calcula la probabilidad de que, tomado un adulto al azar mida más de 1,85 m1{,}85\,\text{m}.0,75 pts
b
Si se toma una muestra de 1000010000 personas, ¿cuántas personas medirán más de 1,85 m1{,}85\,\text{m}?0,75 pts
c
Se observa que, de las 1000010000 personas de la muestra, 65006500 miden menos de 1,90 m1{,}90\,\text{m}, suponiendo que se mantiene la media ¿cuál sería la desviación típica?1 pt
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