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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2022

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque 1
Dado x∈Rx \in \mathbb{R} y las matrices A=(−1−1−2−1x−1−3121)A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ -1 & x - 1 & -3 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, B=(1−11)B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} y C=(1−11)C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
a)1 pts
Calcula los valores de xx para los cuales la matriz AA no posee inversa.
b)0,75 pts
Calcula el rango de AA según los valores de xx.
c)0,75 pts
Para x=1x = 1, calcula en caso de que sea posible A⋅BA \cdot B y A⋅CA \cdot C o indica por qué no se puede realizar.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 1
Dado m∈Rm \in \mathbb{R}, se considera el sistema lineal {2x+y+z=1x+2y+z=−13x+3y+2z=m\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x + 2y + z = -1 \\ 3x + 3y + 2z = m \end{cases}
a)1,75 pts
Discute el sistema según los valores de mm y resuélvelo en los casos en los que sea posible.
b)0,75 pts
Estudia si es posible encontrar una solución en la que z=3z = 3.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 2
Se considera la función f(x)=2x21−xf(x) = \frac{2x^2}{1 - x}.
a)0,75 pts
Calcula el dominio de la función ff y sus asíntotas.
b)1,25 pts
Halla en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)0,5 pts
Utilizando los apartados anteriores, realiza un esbozo de la gráfica de ff.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 2
Dada la función f(x)=−sen⁡(2x)+1f(x) = -\operatorname{sen}(2x) + 1,
a)1,25 pts
Calcula una primitiva que pase por el origen de coordenadas.
b)1,25 pts
Calcula el área limitada por ff, el eje XX y las rectas x=0x = 0 y x=πx = \pi.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Bloque 3
Dadas las rectas r≡{x=1+αy=1z=−αr \equiv \begin{cases} x = 1 + \alpha \\ y = 1 \\ z = -\alpha \end{cases}, ss perpendicular a rr y el vector V⃗=(1,1,1)\vec{V} = (1, 1, 1).
a)0,5 pts
Calcula v⃗r\vec{v}_r un vector director de rr.
b)1 pts
Calcula un vector u⃗\vec{u} director de ss tal que u⃗×v⃗r\vec{u} \times \vec{v}_r es proporcional a V⃗\vec{V}.
c)1 pts
Calcula la ecuación del plano que contiene a las rectas rr y s′s', siendo s′≡x−1=y−1−2=zs' \equiv x - 1 = \frac{y - 1}{-2} = z.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque 3
Dados los puntos A=(1,0,1)A = (1, 0, 1), B=(1,6,1)B = (1, 6, 1), C=(−2,−1,5)C = (-2, -1, 5) y E=(−1,1,1)E = (-1, 1, 1).
a)0,5 pts
Calcula la ecuación del plano π\pi que contiene a los puntos AA, BB y CC.
b)1,25 pts
Calcula las coordenadas del punto DD para que el polígono ABCDABCD sea un paralelogramo y el área de ABCDABCD.
Representación de un paralelogramo con vértices A, B, C y D
Representación de un paralelogramo con vértices A, B, C y D
c)0,75 pts
Halla la ecuación de la recta perpendicular al plano π\pi y que pasa por EE.
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Ejercicio 7 · Opción A

7Opción A
2,5 puntos
Bloque 4
En una oficina del ayuntamiento se asigna un número a cada persona que entra. Se observa que el 70%70\% de las personas que entran son mujeres. El 40%40\% de los hombres y el 30%30\% de las mujeres que entran son menores de 3030 años.
a)0,75 pts
Calcule la probabilidad de que un número sea asignado a una persona menor de 3030 años.
b)0,5 pts
¿Cuál es la probabilidad de que un número sea asignado a un hombre que no tiene menos de 3030 años?
c)1,25 pts
Si la persona a la que se le ha asignado un número no tiene menos de 3030 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque 4
Se está estudiando la altura de la población adulta de una cierta ciudad y se observa que el modelo se rige por una distribución normal con media 1,75 m1{,}75\,\text{m} y desviación típica 0,65 m0{,}65\,\text{m}.
a)0,75 pts
Calcula la probabilidad de que, tomado un adulto al azar mida más de 1,85 m1{,}85\,\text{m}.
b)0,75 pts
Si se toma una muestra de 1000010000 personas, ¿cuántas personas medirán más de 1,85 m1{,}85\,\text{m}?
c)1 pts
Se observa que, de las 1000010000 personas de la muestra, 65006500 miden menos de 1,90 m1{,}90\,\text{m}, suponiendo que se mantiene la media ¿cuál sería la desviación típica?
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