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Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2023

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
La empresa de deportes acuáticos DiverAqua ofrece tres tipos de actividades: esquí acuático, kayak y moto acuática. El precio por sesión y cliente de cada una de estas actividades es de 40 € por el esquí acuático, 20 € por el kayak y 60 € por la moto acuática. Sabemos que hoy DiverAqua ha vendido 45 sesiones en total. También sabemos que el número de clientes que han escogido esquí acuático es el triple de los que han escogido una sesión de kayak. La recaudación total del día ha sido de 1.700 €.
a
Plantee un sistema de ecuaciones lineales que recoja toda esta información.1 pt
b
¿Cuántas personas han llevado a cabo cada una de las tres actividades?1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Un fabricante de vehículos eléctricos ha sacado al mercado un modelo nuevo con tanto éxito que vende todos los que fabrica. El precio de venta de cada coche es de 35.000 €. Fabricar un cierto número de coches le supone unos gastos de C(x)=x2+34.880x+1.100C(x) = x^2 + 34.880x + 1.100 euros, en los que xx representa el número de vehículos fabricados.
a
¿Entre qué valores debe mantener la producción para no tener pérdidas?1,25 pts
b
¿Cuántos vehículos debe fabricar para obtener el máximo beneficio? ¿Qué valor toma este beneficio máximo?1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Una cooperativa de agricultores vende naranjas y mandarinas en dos tipos de cajas. La caja A contiene 8 kg de naranjas y 2 kg de mandarinas, y la caja B contiene 5 kg de naranjas y 5 kg de mandarinas. Este año la producción de naranjas ha sido de 24.000 kg y la de mandarinas, de 12.000 kg. El precio de venta de las naranjas es de 0,60 €/kg y el de las mandarinas, de 0,70 €/kg. Los agricultores de la cooperativa quieren saber cuántas cajas de cada tipo deben vender para maximizar los ingresos.
a
Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible.1,25 pts
b
Determine cuántas cajas de cada tipo hay que vender para obtener el máximo de ingresos y cuáles serían estos ingresos.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El número de nuevas personas infectadas por una enfermedad, en miles, viene dado por la función siguiente:f(t)=30tt2−2t+4,t≥0f(t) = \frac{30t}{t^2 - 2t + 4}, \quad t \geq 0en la que tt representa el tiempo transcurrido, en semanas, desde que se inició la infección.
a
¿Cuántos enfermos se infectarán en la semana 1 y cuántos en la semana 2? ¿Podemos pensar que, a largo plazo, esta infección desaparecerá?1 pt
b
¿En qué instante se produce el número máximo de infectados por esta enfermedad? ¿Cuál es este número?1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere la matriz A=(1a2−1)A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, en la que aa es un parámetro real.
a
Si llamamos II a la matriz identidad de orden 2, encuentre el valor de aa para el cual A2=IA^2 = I.1 pt
b
Para a=−1a = -1, calcule A2A^2, A3A^3 y A4A^4. Utilice los cálculos anteriores para deducir el valor de A−1A^{-1} y de A23A^{23}.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Una tienda vende un tipo determinado de botella de agua a 70 céntimos. Esta semana hace una oferta de 4×34 \times 3, es decir, que si compramos cuatro botellas de agua solo pagamos tres. La tienda también ha anunciado que la próxima semana la oferta de 4×34 \times 3 ya no estará vigente, pero, en cambio, aplicará un 20%20\% de descuento sobre el total de la compra que hagan los clientes.
a
Calcule el precio que tendremos que pagar por 4 botellas de agua tanto esta semana como la próxima. En lugar de un 20%20\%, ¿qué descuento habría que aplicar para igualar la oferta de 4×34 \times 3?1,5 pts
b
Calcule, en general, qué descuento habría que aplicar para igualar una oferta de m×(m−1)m \times (m - 1); es decir, que consiste en vender mm botellas de agua por el precio de m−1m - 1 botellas, en la que mm es un entero mayor que 1.1 pt
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