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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAragónPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Aragón 2018

3 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Un artesano de vidrio va a fabricar figuras de dos tipos durante la próxima semana: cisne y elefante. Cada figura de cisne necesita 0,10{,}1 kg de vidrio y 30 minutos de trabajo, mientras que cada figura de elefante necesita 0,20{,}2 kg de vidrio y 20 minutos de trabajo. El artesano puede utilizar como máximo 16 kg de vidrio y 40 horas de trabajo. Además, el número de figuras de cisne que fabrique ha de ser menor o igual que el doble de figuras de elefante. Por cada figura de cisne obtiene un beneficio de 10 euros y por cada figura de elefante obtiene un beneficio de 8 euros. Plantear y resolver un problema de programación lineal para determinar el número de figuras de cada tipo que tiene que fabricar para obtener el máximo beneficio. ¿Cuál es el valor de ese beneficio máximo?
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Ejercicio 2

2
3,25 puntos
Dada la función, definida para x∈Rx \in \mathbb{R},f(x)={ax+1si x<−2x+bx2+1si −2≤x<0x3−9x2+24x+4si x≥0f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{si } x < -2 \\ \frac{x + b}{x^2 + 1} & \text{si } -2 \leq x < 0 \\ x^3 - 9x^2 + 24x + 4 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Calcular aa y bb sabiendo que ff es continua en todos los puntos.1 pt
b
Calcular el mínimo valor que toma la función ff para x∈[3,8]x \in [3, 8].1,5 pts
c
Calcular∫12f(x)dx\int_{1}^{2} f(x) dx0,75 pts
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Ejercicio 3

3
3,5 puntos
En una caseta de feria se puede jugar a lanzar balones a una canasta. El juego consiste en lanzar 2 balones; si se encesta al menos un lanzamiento, entonces se gana un premio. Luis va a jugar una partida: la probabilidad que tiene de encestar cada lanzamiento es de 0,30{,}3 y los lanzamientos son independientes.
a
¿Qué probabilidad tiene Luis de encestar los dos lanzamientos?0,75 pts
b
¿Qué probabilidad tiene Luis de ganar el premio?1 pt
c
Si Luis ha ganado el premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya fallado el primer lanzamiento?1 pt
d
Sea AA el suceso "Luis falla el primer lanzamiento" y BB el suceso "Luis gana el premio". ¿Son los sucesos AA y BB independientes?0,75 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Dadas las matrices:A=(−8−31042),B=(−102314),C=(10−1−112),D=(2−1−2210−613)A = \begin{pmatrix} -8 & -3 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 \\ -6 & 1 & 3 \end{pmatrix}
a
Calcular (AB)2(AB)^2.1 pt
b
Encontrar, si existe, una matriz XX tal que 2A+3X=4C2A + 3X = 4C.1 pt
c
Calcular, si existe, la matriz inversa de DD.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3,25 puntos
Un programa de televisión emitido ayer duró 120 minutos. La cuota de pantalla que tuvo el programa, medida en porcentaje, fue variando a lo largo del tiempo según la función:C(x)=1200(−x2+100x+7500)C(x) = \frac{1}{200} (-x^2 + 100x + 7500)donde x∈[0,120]x \in [0, 120] es el tiempo (en minutos) transcurrido desde el inicio del programa y CC es la cuota de pantalla, en porcentaje.
a
Encontrar los valores de tiempo, si los hubo, en los que la cuota de pantalla fue igual a 18.0,75 pts
b
¿En qué instantes de tiempo se alcanzaron la mínima y máxima cuotas de pantalla del programa? ¿Cuáles fueron dichas cuotas?1,5 pts
c
Calcular:∫1020C(x)dx\int_{10}^{20} C(x) dx1 pt
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Ejercicio 3

3
3,5 puntos
a
En un instituto hay 335 estudiantes de Bachillerato, 195 de los cuales están en primer curso y 140 están en segundo curso. Se eligen al azar dos estudiantes distintos de entre estos 335. ¿Cuál es la probabilidad de que estén en el mismo curso?1 pt
b
En una encuesta sobre hábitos alimentarios en una ciudad se ha tomado una muestra de 300 individuos y se les ha preguntado si son vegetarianos. De los 300 individuos, 72 son vegetarianos y los 228 restantes no lo son. Calcular el intervalo de confianza al 94% para la proporción de personas de la ciudad que son vegetarianas.2,5 pts
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