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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2022

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro real mm: {x−2my+z=1mx+2y−z=−1x−y+z=1\begin{cases} x - 2my + z = 1 \\ mx + 2y - z = -1 \\ x - y + z = 1 \end{cases}
a)2 pts
Discuta el sistema en función de los valores de mm.
b)0,5 pts
Resuelva el sistema para el valor m=12m = \frac{1}{2}.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Tres primos, Pablo, Alejandro y Alicia, se van a repartir un premio de 9450 euros de forma directamente proporcional a sus edades. La suma de las edades de Pablo y Alejandro excede en tres años al doble de la edad de Alicia. Además, la edad de los tres primos juntos es de 45 años. Sabiendo que en el reparto del premio la diferencia entre lo que recibe Pablo y lo que recibe Alicia es de 420 euros, calcule las edades de los tres primos y el dinero que recibe cada uno por el premio.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sea la función f(x)={x3e−1/x2si x≠00si x=0f(x) = \begin{cases} x^3 e^{-1/x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \end{cases}
a)1 pts
Estudie la continuidad y derivabilidad de f(x)f(x) en x=0x = 0.
b)0,5 pts
Estudie si f(x)f(x) presenta algún tipo de simetría par o impar.
c)1 pts
Calcule la siguiente integral: ∫12f(x)x6dx\int_{1}^{2} \frac{f(x)}{x^6} dx.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sea f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}
a)0,5 pts
Compruebe si f(x)f(x) verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo [−1,1][-1, 1].
b)1 pts
Calcule y clasifique los extremos relativos de f(x)f(x) en R\mathbb{R}.
c)1 pts
Determine el área comprendida entre la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje OXOX en el intervalo [−1,1][-1, 1].
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Con un dispositivo láser situado en el punto P(1,1,1)P(1, 1, 1) se ha podido seguir la trayectoria de una partícula que se desplaza sobre la recta de ecuaciones r≡{2x−y=10x−z=−90r \equiv \begin{cases} 2x - y = 10 \\ x - z = -90 \end{cases}
a)0,5 pts
Calcule un vector director de rr y la posición de la partícula cuando su trayectoria incide con el plano z=0z = 0.
b)1,25 pts
Calcule la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser.
c)0,75 pts
Determine el ángulo entre el plano de ecuación x+y=2x + y = 2 y la recta rr.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Sean el plano π≡x+y+z=1\pi \equiv x + y + z = 1, la recta r1≡{x=1+λy=1−λz=−1λ∈Rr_1 \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = -1 \end{cases} \lambda \in \mathbb{R} y el punto P(0,1,0)P(0, 1, 0).
a)0,5 pts
Verifique que la recta r1r_1 está contenida en el plano π\pi y que el punto PP pertenece al mismo plano.
b)0,75 pts
Halle una ecuación de la recta contenida en el plano π\pi que pase por PP y sea perpendicular a r1r_1.
c)1,25 pts
Calcule una ecuación de la recta, r2r_2, que pase por PP y sea paralela a r1r_1. Halle el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados sobre las rectas r1r_1 y r2r_2.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Según el Instituto Nacional de Estadística, durante el último trimestre de 2020, el porcentaje de mujeres que pertenecía al conjunto de Consejos de Administración de las empresas que componen el Ibex-35 fue del 27,7%27{,}7\%. Se reunieron 10 de estos consejeros.
a)0,75 pts
Halle la probabilidad de que la mitad fueran mujeres.
b)0,75 pts
Calcule la probabilidad de que hubiese al menos un hombre.
c)1 pts
Determine, aproximando mediante una distribución normal, la probabilidad de que en un congreso de doscientos consejeros de estas empresas hubiera como mínimo un 35%35\% de representación femenina.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
De una cesta con 6 sombreros blancos y 3 negros se elige uno al azar. Si el sombrero es blanco, se toma, al azar, un pañuelo de un cajón que contiene 2 blancos, 2 negros y 5 con cuadros blancos y negros. Si el sombrero es negro, se elige, al azar, un pañuelo de otro cajón que contiene 2 pañuelos blancos, 4 negros y 4 con cuadros blancos y negros. Se pide:
a)1 pts
Calcular la probabilidad de que en el pañuelo aparezca algún color que no sea el del sombrero.
b)0,5 pts
Calcular la probabilidad de que en al menos uno de los complementos (sombrero o pañuelo) aparezca el color negro.
c)1 pts
Calcular la probabilidad de que el sombrero haya sido negro, sabiendo que el pañuelo ha sido de cuadros.
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