Matemáticas II · Cataluña 2017

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} \lambda x + y - z = 0 \\ y + z = 10 \\ 2 \lambda x - y + 5 \lambda z = 30 \end{cases}$$

Sean las rectas de $\mathbb{R}^3$ $r: \begin{cases} 2x - y = 1 \\ y - 2z = 0 \end{cases}$ y $s: x + 1 = \frac{y - 2}{2} = z - 1$.

Considere los planos $\pi_1: 5x - y - 7z = 1$ y $\pi_2: 2x + 3y + z = 5$.

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + kz = 1 \\ x + (k + 1)y + z = k^2 - 4 \end{cases}$$ en el que $k$ es un parámetro real.

Sea la función $f(x) = \frac{1}{x^2 - k}$, en la que $k$ es un parámetro real diferente de $0$. Para los diferentes valores del parámetro $k$:

Responda a las cuestiones siguientes:

Sabemos que el sistema de ecuaciones lineales siguiente tiene una única solución: $$\begin{cases} x + ay = 1 \\ x + az = 1 \\ y + z = a \end{cases}$$

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Considere las matrices cuadradas de orden $2$ de la forma $M = \begin{pmatrix} x & -1 \\ y^2 + 1 & x \end{pmatrix}$, con $x$ e $y$ números reales.

Sea $\begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & a^2 \end{pmatrix}$ la matriz ampliada d’un sistema de ecuaciones lineales.

Considere un cono de $120\,\text{cm}^3$ de volumen que tiene una altura $h$, un radio de la base $x$ y una arista $a$, como el de la figura siguiente:

El croquis de abajo representa la pared de una buhardilla con el techo inclinado, en la cual se quiere construir un armario rectangular como el de la zona sombreada.