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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2017

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro λ\lambda:{λx+y−z=0y+z=102λx−y+5λz=30\begin{cases} \lambda x + y - z = 0 \\ y + z = 10 \\ 2 \lambda x - y + 5 \lambda z = 30 \end{cases}
a
Estudie para qué valores del parámetro λ\lambda el sistema es incompatible.1 pt
b
Resuelva el sistema para el caso λ=1\lambda = 1.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Sean las rectas de R3\mathbb{R}^3 r:{2x−y=1y−2z=0r: \begin{cases} 2x - y = 1 \\ y - 2z = 0 \end{cases} y s:x+1=y−22=z−1s: x + 1 = \frac{y - 2}{2} = z - 1.
a
Compruebe que son paralelas.1 pt
b
Calcule la ecuación vectorial del plano que las contiene.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Considere los planos π1:5x−y−7z=1\pi_1: 5x - y - 7z = 1 y π2:2x+3y+z=5\pi_2: 2x + 3y + z = 5.
a
Determine la ecuación general (es decir, la que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
b
Calcule el ángulo que forman los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:{x−y+z=02x+kz=1x+(k+1)y+z=k2−4\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + kz = 1 \\ x + (k + 1)y + z = k^2 - 4 \end{cases}en el que kk es un parámetro real.
a
Discuta el sistema para los diferentes valores de kk.1 pt
b
Resuelva el sistema para el caso k=−2k = -2.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sea la función f(x)=1x2−kf(x) = \frac{1}{x^2 - k}, en la que kk es un parámetro real diferente de 00. Para los diferentes valores del parámetro kk:
a
Calcule el dominio y las asíntotas de la función.1 pt
b
Calcule los puntos con un máximo o un mínimo relativo.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a
Compruebe que la recta tangente a la curva y=x2y = x^2 en el punto de abscisa x=2x = 2 es la recta y=4x−4y = 4x - 4 y calcule los puntos de intersección de esta recta con los ejes de coordenadas.1 pt
b
Calcule el área limitada por la curva del apartado anterior, la recta tangente en x=2x = 2 y el eje de las abscisas.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Sabemos que el sistema de ecuaciones lineales siguiente tiene una única solución:{x+ay=1x+az=1y+z=a\begin{cases} x + ay = 1 \\ x + az = 1 \\ y + z = a \end{cases}
a
Compruebe que a≠0a \neq 0.1 pt
b
Halle la solución del sistema en función del parámetro aa.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Considere la matriz A=(0−1000−1−100)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
a
Calcule las potencias A2A^2, A3A^3 y A6A^6.1 pt
b
Calcule la inversa de la matriz A5A^5.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Considere las matrices cuadradas de orden 22 de la forma M=(x−1y2+1x)M = \begin{pmatrix} x & -1 \\ y^2 + 1 & x \end{pmatrix}, con xx e yy números reales.
a
Compruebe que la matriz MM es siempre invertible, independientemente de los valores de xx y de yy.1 pt
b
Para x=1x = 1 e y=−1y = -1, calcule M−1M^{-1}.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Sea (a1111a1a11aa2)\begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & a \\ 1 & 1 & a & a^2 \end{pmatrix} la matriz ampliada d’un sistema de ecuaciones lineales.
a
Discuta el sistema según los valores del parámetro aa, e interprete el resultado geométricamente.1 pt
b
Para a=1a = 1 halle la forma paramétrica del plano solución y dé un punto y dos vectores directores de este plano.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Considere un cono de 120 cm3120\,\text{cm}^3 de volumen que tiene una altura hh, un radio de la base xx y una arista aa, como el de la figura siguiente:
Datos
  • El volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro recto que tiene la misma base y la misma altura que el cono
Diagrama de un cono con altura h, radio de la base x y arista a.
a
Compruebe que a2=360π⋅1h+h2a^2 = \frac{360}{\pi} \cdot \frac{1}{h} + h^2.1 pt
b
Calcule la altura del cono que tiene la arista de longitud mínima.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
El croquis de abajo representa la pared de una buhardilla con el techo inclinado, en la cual se quiere construir un armario rectangular como el de la zona sombreada.
Croquis de una pared de buhardilla con un armario rectangular sombreado. Se indican dimensiones de 1 m y 3 m de altura, una base total de 6 m y un segmento AB de longitud x.
a
Exprese el área del rectángulo en función de la longitud xx del segmento ABAB.1 pt
b
Determine las dimensiones del rectángulo si queremos que tenga una superficie máxima y calcule esta superficie máxima.1 pt
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