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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2010

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno/a debe responder solo a los ejercicios de una de las opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la matriz A=(−11001001−1)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
a
Si II es la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ\lambda para los que A+λIA + \lambda I no tiene inversa. Calcula, si existe, la matriz inversa de A−2IA - 2I.2 pts
b
Calcula la matriz XX tal que XA+At=2XXA + A^t = 2X, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Sea rr la recta que pasa por el punto P(1,−1,−2)P(1, -1, -2) y es perpendicular al plano α:x+2y+3z+6=0\alpha: x + 2y + 3z + 6 = 0. Sea ss la recta que pasa por los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0) y B(−1,−3,−4)B(-1, -3, -4).
a
Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss. Si se cortan, calcula el punto de corte.2 pts
b
Calcula la distancia del punto A(1,0,0)A(1, 0, 0) al plano β\beta que pasa por el punto P(1,−1,−2)P(1, -1, -2) y es paralelo a α\alpha.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dibuja la gráfica de f(x)=x2+3xx+1f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 1} estudiando: dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Si ∫0xf(t)dt=x2(1+x)\int_{0}^{x} f(t) dt = x^2(1 + x), con ff una función continua en todos los puntos de la recta real, calcula f(2)f(2).1 pt
b
Calcula ∫12x2+1x2+xdx\int_{1}^{2} \frac{x^2 + 1}{x^2 + x} dx1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores del parámetro aa, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{ax+2y+2z=ax+y+z=02x−y+2z=a\begin{cases} ax + 2y + 2z = a \\ x + y + z = 0 \\ 2x - y + 2z = a \end{cases}2 pts
b
Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la recta r:{y=1x−z+4=0r: \begin{cases} y = 1 \\ x - z + 4 = 0 \end{cases}
a
Calcula la ecuación del plano α\alpha que pasa por el punto Q(0,2,2)Q(0, 2, 2) y contiene a la recta rr. Calcula el área del triángulo que tiene por vértices los puntos de intersección de α\alpha con los ejes de coordenadas.2 pts
b
Calcula la ecuación general del plano que contiene a la recta rr y es perpendicular al plano α\alpha.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
¿Define función continua en un punto. ¿Cuándo se dice que una discontinuidad es evitable? ¿Para qué valores de kk, la función f(x)=exx2+kf(x) = \frac{e^x}{x^2 + k} es continua?1 pt
b
Determina los valores de a,b,c,da, b, c, d para que la función g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tenga un máximo relativo en el punto (0,4)(0, 4) y un mínimo relativo en el punto (2,0)(2, 0).1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la recta x+y=7x + y = 7 y la gráfica de la parábola f(x)=x2+5f(x) = x^2 + 5. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).
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