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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2010

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Dada la matriz A=(−11001001−1)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}
a)2 pts
Si II es la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de λ\lambda para los que A+λIA + \lambda I no tiene inversa. Calcula, si existe, la matriz inversa de A−2IA - 2I.
b)1 pts
Calcula la matriz XX tal que XA+At=2XXA + A^t = 2X, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
a)2 pts
Discute, según los valores del parámetro aa, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {ax+2y+2z=ax+y+z=02x−y+2z=a\begin{cases} ax + 2y + 2z = a \\ x + y + z = 0 \\ 2x - y + 2z = a \end{cases}
b)1 pts
Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso a=0a = 0.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
Sea rr la recta que pasa por el punto P(1,−1,−2)P(1, -1, -2) y es perpendicular al plano α:x+2y+3z+6=0\alpha: x + 2y + 3z + 6 = 0. Sea ss la recta que pasa por los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0) y B(−1,−3,−4)B(-1, -3, -4).
a)2 pts
Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss. Si se cortan, calcula el punto de corte.
b)1 pts
Calcula la distancia del punto A(1,0,0)A(1, 0, 0) al plano β\beta que pasa por el punto P(1,−1,−2)P(1, -1, -2) y es paralelo a α\alpha.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Dada la recta r:{y=1x−z+4=0r: \begin{cases} y = 1 \\ x - z + 4 = 0 \end{cases}
a)2 pts
Calcula la ecuación del plano α\alpha que pasa por el punto Q(0,2,2)Q(0, 2, 2) y contiene a la recta rr. Calcula el área del triángulo que tiene por vértices los puntos de intersección de α\alpha con los ejes de coordenadas.
b)1 pts
Calcula la ecuación general del plano que contiene a la recta rr y es perpendicular al plano α\alpha.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Dibuja la gráfica de f(x)=x2+3xx+1f(x) = \frac{x^2 + 3x}{x + 1} estudiando: dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
a)1 pts
¿Define función continua en un punto. ¿Cuándo se dice que una discontinuidad es evitable? ¿Para qué valores de kk, la función f(x)=exx2+kf(x) = \frac{e^x}{x^2 + k} es continua?
b)1 pts
Determina los valores de a,b,c,da, b, c, d para que la función g(x)=ax3+bx2+cx+dg(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tenga un máximo relativo en el punto (0,4)(0, 4) y un mínimo relativo en el punto (2,0)(2, 0).
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
a)1 pts
Si ∫0xf(t)dt=x2(1+x)\int_{0}^{x} f(t) dt = x^2(1 + x), con ff una función continua en todos los puntos de la recta real, calcula f(2)f(2).
b)1 pts
Calcula ∫12x2+1x2+xdx\int_{1}^{2} \frac{x^2 + 1}{x^2 + x} dx
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la recta x+y=7x + y = 7 y la gráfica de la parábola f(x)=x2+5f(x) = x^2 + 5. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).
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