Matemáticas II · La Rioja 2020

Determinar los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que las funciones $f(x) = ax^2 + b$ y $g(x) = x^2 + x + a$ sean tangentes en el punto de abcisa $x = -1$. Para los valores obtenidos de $a$ y $b$, calcular la recta tangente a las curvas en $x = -1$.

Calcular el área del recinto limitado por las rectas $x = -2$, $x = 2$, el eje OX y la función $$f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases}$$

Sea la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad m \in \mathbb{R} \setminus \{0\}.$$

Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} ay + (a + 1)z = a \\ ax + z = a \\ x + az = -a \end{cases}$$

Sean $A$ y $B$ las matrices: $$A = \begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 10 & -5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}.$$

Determinar en función del parámetro real $a$, la posición relativa de los siguientes planos: $$\begin{cases} (a - 1)x + y - z = a \\ (a + 1)x + (2a + 1)y + z = -a \\ ax + ay + z = -a \end{cases}$$

Dados los vectores $\vec{u} = (1, 2, 3)$ y $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

En una clase de primero de primaria el $50\%$ de los niños practica natación, el $20\%$ practica baloncesto y el $5\%$ ambos deportes.

Se sabe que dos poblaciones distintas $X$ e $Y$ se distribuyen según una Normal de media $25$. Además $P(X \geq 27) = P(Y \geq 30) = 0{,}1587$. Calcular sus respectivas varianzas.