Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2020

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a SÓLO CINCO ejercicios de entre los planteados. En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero. Todas las preguntas tienen la misma puntuación. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.

Ejercicio 1

1
2 puntos
a
Calcular lim⁡x→0(1−sen⁡xcos⁡x1+sen⁡xcos⁡x)1sen⁡x\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1 - \operatorname{sen} x \cos x}{1 + \operatorname{sen} x \cos x} \right)^{\frac{1}{\operatorname{sen} x}}
b
Determinar el valor de la constante real aa para que se satisfaga la siguiente igualdad:lim⁡x→4tg⁡((π8+1)x−2)x2−16+ax=132\lim_{x \rightarrow 4} \frac{\operatorname{tg} \left( (\frac{\pi}{8} + 1) \sqrt{x} - 2 \right)}{x^2 - 16 + ax} = \frac{1}{32}
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Determinar los valores de los parámetros reales aa y bb para que las funciones f(x)=ax2+bf(x) = ax^2 + b y g(x)=x2+x+ag(x) = x^2 + x + a sean tangentes en el punto de abcisa x=−1x = -1. Para los valores obtenidos de aa y bb, calcular la recta tangente a las curvas en x=−1x = -1.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcular el área del recinto limitado por las rectas x=−2x = -2, x=2x = 2, el eje OX y la funciónf(x)={x2,x<0x,x≥0f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Sea la matrizA=(200020m02),m∈R∖{0}.A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ m & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad m \in \mathbb{R} \setminus \{0\}.
a
Hallar α\alpha y β\beta de tal forma que A2=αA+βIA^2 = \alpha A + \beta I, siendo II la matriz identidad.
b
Calcular A5A^5 utilizando la anterior identidad.
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales:{ay+(a+1)z=aax+z=ax+az=−a\begin{cases} ay + (a + 1)z = a \\ ax + z = a \\ x + az = -a \end{cases}
a
Discutir y resolver según el valor del parámetro real aa.
b
Determinar la inversa de la matriz asociada al sistema para a=2a = 2.
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2 puntos
Sean AA y BB las matrices:A=(−13510−5),B=(5−2−42).A = \begin{pmatrix} -13 & 5 \\ 10 & -5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}.
a
Hallar XX e YY, matrices soluciones del sistema de ecuaciones:{3X−5Y=A−X+2Y=B\begin{cases} 3X - 5Y = A \\ -X + 2Y = B \end{cases}
b
Calcular si existen las matrices inversas de XX e YY.
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
2 puntos
Determinar en función del parámetro real aa, la posición relativa de los siguientes planos:{(a−1)x+y−z=a(a+1)x+(2a+1)y+z=−aax+ay+z=−a\begin{cases} (a - 1)x + y - z = a \\ (a + 1)x + (2a + 1)y + z = -a \\ ax + ay + z = -a \end{cases}
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
2 puntos
Dados los vectores u⃗=(1,2,3)\vec{u} = (1, 2, 3) y v⃗=(0,1,1)\vec{v} = (0, 1, 1).
a
Hallar un vector de módulo uno, que sea perpendicular a u⃗\vec{u} y a v⃗\vec{v}.
b
Calcular el área del paralelogramo determinado por u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 9

9
2 puntos
En una clase de primero de primaria el 50%50\% de los niños practica natación, el 20%20\% practica baloncesto y el 5%5\% ambos deportes.
a
Calcular la probabilidad de que un niño elegido al azar no practique ni natación ni baloncesto.
b
Calcular la probabilidad de que un niño practique natación si juega al baloncesto.
Ver este ejercicio

Ejercicio 10

10
2 puntos
Se sabe que dos poblaciones distintas XX e YY se distribuyen según una Normal de media 2525. Además P(X≥27)=P(Y≥30)=0,1587P(X \geq 27) = P(Y \geq 30) = 0{,}1587. Calcular sus respectivas varianzas.
Ver este ejercicio