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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2019

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Se dan la matriz A=(10a−2a+12−3a−1a)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ -2 & a + 1 & 2 \\ -3 & a - 1 & a \end{pmatrix}, que depende del parámetro real aa, y una matriz cuadrada BB de orden 3 tal que B2=13I−2BB^2 = \frac{1}{3}I - 2B, siendo II la matriz identidad de orden 3. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
El rango de la matriz AA en función del parámetro aa y el determinante de la matriz 2A−12A^{-1} cuando a=1a = 1.
b)3 pts
Todas las soluciones del sistema de ecuaciones A(xyz)=(−120)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} cuando a=−1a = -1.
c)3 pts
La comprobación de que BB es invertible, encontrando mm y nn tales que B−1=mB+nIB^{-1} = mB + nI.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se da el sistema {x+y+z=43x+4y+5z=57x+9y+11z=α\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 3x + 4y + 5z = 5 \\ 7x + 9y + 11z = \alpha \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
Los valores de α\alpha para los que el sistema es compatible y los valores de α\alpha para los que el sistema es incompatible.
b)4 pts
Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible.
c)2 pts
La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Consideramos en el espacio las rectas r:{x−y+3=02x−z+3=0r: \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 3 = 0 \end{cases} y s:x=y+1=z−22s: x = y + 1 = \frac{z - 2}{2}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
La ecuación del plano que contiene las rectas rr y ss.
b)4 pts
La recta que pasa por P=(0,−1,2)P = (0, -1, 2) y corta perpendicularmente a la recta rr.
c)3 pts
El valor que deben tener los parámetros reales aa y bb para que la recta ss esté contenida en el plano π:x−2y+az=b\pi: x - 2y + az = b.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Sea π\pi el plano de ecuación 9x+12y+20z=1809x + 12y + 20z = 180. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
Las ecuaciones de los dos planos paralelos a π\pi que distan 4 unidades de π\pi.
b)4 pts
Los puntos AA, BB y CC intersección del plano π\pi con los ejes OXOX, OYOY y OZOZ y el ángulo que forman los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.
c)2 pts
El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen OO de coordenadas y los puntos AA, BB y CC.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Se considera la función f(x)=xe−x2f(x) = x e^{-x^2}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función f(x)f(x).
b)2 pts
La representación gráfica de la curva y=f(x)y = f(x).
c)
El valor del parámetro aa para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [0,1][0, 1] a la función g(x)=f(x)+axg(x) = f(x) + ax.
d)4 pts
El valor de las integrales indefinidas ∫f(x) dx\int f(x) \, dx y ∫xe−x dx\int x e^{-x} \, dx.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Las coordenadas iniciales de los móviles AA y BB son (0,0)(0, 0) y (250,0)(250, 0), respectivamente, siendo 1 km1\,\text{km} la distancia del origen de coordenadas a cada uno de los puntos (1,0)(1, 0) y (0,1)(0, 1). El móvil AA se desplaza sobre el eje OYOY desde su posición inicial hasta el punto (0,3752)(0, \frac{375}{2}) con velocidad de 30 km/h30\,\text{km/h} y, simultáneamente, el móvil BB se desplaza sobre el eje OXOX desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas con velocidad de 40 km/h40\,\text{km/h}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)2 pts
La distancia f(t)f(t) entre los móviles AA y BB durante el desplazamiento, en función del tiempo tt en horas desde que comenzaron a desplazarse.
b)4 pts
El tiempo TT que tardan los móviles en desplazarse desde su posición inicial a su posición final, e intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff a lo largo del trayecto.
c)4 pts
Los valores de tt para los que la distancia de los móviles es máxima y mínima durante su desplazamiento y dichas distancias máxima y mínima.
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