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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2019

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se dan la matriz A=(10a−2a+12−3a−1a)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ -2 & a + 1 & 2 \\ -3 & a - 1 & a \end{pmatrix}, que depende del parámetro real aa, y una matriz cuadrada BB de orden 3 tal que B2=13I−2BB^2 = \frac{1}{3}I - 2B, siendo II la matriz identidad de orden 3. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El rango de la matriz AA en función del parámetro aa y el determinante de la matriz 2A−12A^{-1} cuando a=1a = 1.4 pts
b
Todas las soluciones del sistema de ecuaciones A(xyz)=(−120)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} cuando a=−1a = -1.3 pts
c
La comprobación de que BB es invertible, encontrando mm y nn tales que B−1=mB+nIB^{-1} = mB + nI.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Consideramos en el espacio las rectas r:{x−y+3=02x−z+3=0r: \begin{cases} x - y + 3 = 0 \\ 2x - z + 3 = 0 \end{cases} y s:x=y+1=z−22s: x = y + 1 = \frac{z - 2}{2}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La ecuación del plano que contiene las rectas rr y ss.3 pts
b
La recta que pasa por P=(0,−1,2)P = (0, -1, 2) y corta perpendicularmente a la recta rr.4 pts
c
El valor que deben tener los parámetros reales aa y bb para que la recta ss esté contenida en el plano π:x−2y+az=b\pi: x - 2y + az = b.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se considera la función f(x)=xe−x2f(x) = x e^{-x^2}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Las asíntotas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos relativos de la función f(x)f(x).4 pts
b
La representación gráfica de la curva y=f(x)y = f(x).2 pts
c
El valor del parámetro aa para que se pueda aplicar el teorema de Rolle en el intervalo [0,1][0, 1] a la función g(x)=f(x)+axg(x) = f(x) + ax.
d
El valor de las integrales indefinidas ∫f(x) dx\int f(x) \, dx y ∫xe−x dx\int x e^{-x} \, dx.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema {x+y+z=43x+4y+5z=57x+9y+11z=α\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 3x + 4y + 5z = 5 \\ 7x + 9y + 11z = \alpha \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores de α\alpha para los que el sistema es compatible y los valores de α\alpha para los que el sistema es incompatible.4 pts
b
Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible.4 pts
c
La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema deducido del anterior al cambiar el coeficiente 11 por cualquier otro número diferente.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea π\pi el plano de ecuación 9x+12y+20z=1809x + 12y + 20z = 180. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Las ecuaciones de los dos planos paralelos a π\pi que distan 4 unidades de π\pi.4 pts
b
Los puntos AA, BB y CC intersección del plano π\pi con los ejes OXOX, OYOY y OZOZ y el ángulo que forman los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.4 pts
c
El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen OO de coordenadas y los puntos AA, BB y CC.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Las coordenadas iniciales de los móviles AA y BB son (0,0)(0, 0) y (250,0)(250, 0), respectivamente, siendo 1 km1\,\text{km} la distancia del origen de coordenadas a cada uno de los puntos (1,0)(1, 0) y (0,1)(0, 1). El móvil AA se desplaza sobre el eje OYOY desde su posición inicial hasta el punto (0,3752)(0, \frac{375}{2}) con velocidad de 30 km/h30\,\text{km/h} y, simultáneamente, el móvil BB se desplaza sobre el eje OXOX desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas con velocidad de 40 km/h40\,\text{km/h}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La distancia f(t)f(t) entre los móviles AA y BB durante el desplazamiento, en función del tiempo tt en horas desde que comenzaron a desplazarse.2 pts
b
El tiempo TT que tardan los móviles en desplazarse desde su posición inicial a su posición final, e intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff a lo largo del trayecto.4 pts
c
Los valores de tt para los que la distancia de los móviles es máxima y mínima durante su desplazamiento y dichas distancias máxima y mínima.4 pts
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