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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2024

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con tres ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a dos de un bloque y a uno de cada bloque restante. Para evitar confusiones, se recomienda consignar claramente en la primera página de las hojas de respuesta a qué cuatro ejercicios se responden en el examen. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean ni programables ni gráficas, y que no calculen integrales.

Ejercicio 1 · Bloque 1. Álgebra y programación lineal

1Bloque 1. Álgebra y programación lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
En el mercado de Olmedo, por cinco corderos y un puerco me dan 26 ducados; por tres corderos, tres puercos y un ternero me dan 38 ducados, y si les doy dos de cada clase me dan 36 ducados. ¿Cuántos ducados me dan por cada cordero, puerco y ternero?
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Ejercicio 1 · Bloque 2: Análisis

1Bloque 2: Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Definimos la función ff mediantef(x)=x2−2x+1x−2f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 2}para los valores reales xx en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es su dominio? Representa la gráfica de ff, de forma que se aprecien bien sus asíntotas horizontales y verticales, sus extremos relativos y sus cortes con los ejes de coordenadas.
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Ejercicio 1 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

1Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
De cada diez autobuses que llegan al enclave de un concierto en Asturias cuatro proceden de Gijón, tres de Oviedo, dos de Avilés y uno de Mieres. El 40% de las personas que llegan de Gijón y de Oviedo son mujeres, pero el porcentaje es del 60% entre las que llegan de Avilés y del 80% de las llegadas desde Mieres. Si elegimos una mujer al azar que ha llegado en autobús al concierto, ¿con qué probabilidad lo ha hecho desde cada una de las cuatro ciudades?
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Ejercicio 2 · Bloque 1. Álgebra y programación lineal

2Bloque 1. Álgebra y programación lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Sea la matriz M=(0220)M = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}. Elige una matriz A cuadrada de orden 2 tal que, de sus cuatro componentes, tres valen 1 y la otra vale -1. Escribe explícitamente tu matriz A, y encuentra entonces la matriz X que cumple queAX=MAX = M¿Cuánto valen los determinantes de las matrices A y X?
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Ejercicio 2 · Bloque 2: Análisis

2Bloque 2: Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Encuentra los valores de aa y bb que hacen que la función dada porf(x)=x3−ax2−bx+1f(x) = x^3 - ax^2 - bx + 1Cumpla las dos propiedades siguientes: (i) Su derivada vale lo mismo en x=0x = 0 y en x=1x = 1. (ii) Tiene un extremo relativo en x=−1x = -1.
a
¿Qué propiedad cumplen las rectas tangentes a la gráfica y=f(x)y = f(x) en los puntos de abscisa 0 y 1? ¿Qué tipo de extremo relativo (máximo o mínimo) tiene ff en -1?0,75 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

2Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
La distribución de las valoraciones de un producto en una macroencuesta es normal de media μ\mu y desviación típica σ\sigma. El porcentaje de las valoraciones superiores a 7 coincide con el de las valoraciones inferiores a 5.
i
¿Por qué podemos deducir que μ=6\mu = 6?0,75 pts
ii
Si el porcentaje expresado es del 15,866%15{,}866\%, ¿cuál es el valor de σ\sigma?0,75 pts
iii
¿Qué valor es entonces superado solamente por el 2,5%2{,}5\% de las valoraciones?1 pt
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Ejercicio 3 · Bloque 1. Álgebra y programación lineal

3Bloque 1. Álgebra y programación lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Un artesano fabrica hilo de algodón ecológico e hilo de lino de alta calidad, y planifica su trabajo para los próximos tres días. Cada metro de algodón le lleva una hora de trabajo, y para cada metro de lino necesita tres horas. No quiere emplear más de 21 horas en su tarea. El coste de fabricación es de dos monedas por metro de algodón y de una por metro de lino, y no puede gastar más de 12 monedas en la tarea. Su beneficio por metro de algodón es de 3 monedas, y por metro de lino es de 5 monedas. ¿Cuántos metros debe fabricar de cada clase para maximizar su beneficio? Estudia cómo cambiaría la respuesta si el beneficio por metro de lino fuera el doble del que se ha dicho antes.
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Ejercicio 3 · Bloque 2: Análisis

3Bloque 2: Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
El diseño del logo de New Summit se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función:f(x)={αx2si 0≤x≤25−xsi 2≤x≤5f(x) = \begin{cases} \alpha x^2 & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ 5 - x & \text{si } 2 \leq x \leq 5 \end{cases}
Gráfica del logo compuesta por una parábola y una recta con regiones sombreadas.
i
Determina el valor de α\alpha.0,75 pts
ii
Calcula el área de las dos regiones de distinto color distinguibles en el logo.1,75 pts
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Ejercicio 3 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

3Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Las sandías de nuestra huerta tienen un peso cuya distribución es normal, con una desviación típica de 40 gr. Llamaremos μ\mu a su media.
a
Si el peso medio fuese μ=650\mu = 650 gr, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso promedio de 25 sandías superase los 666 gr?1,25 pts
b
Sin conocer el valor de μ\mu tomamos una muestra efectiva de 25 sandías, y el promedio de sus pesos resulta ser 700 gr. Calcula entonces un intervalo con el 95%95\% de confianza en el que localizar μ\mu.1,25 pts
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