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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función continua f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida porf(x)={x+ksi x≤0ex2−1x2si x>0f(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{e^{x^2} - 1}{x^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Calcula el valor de kk.1,25 pts
b
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea I=∫01x1+1−x dxI = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x}} \, dx
a
Expresa la integral II aplicando el cambio de variable t=1−xt = \sqrt{1 - x}.1,75 pts
b
Calcula el valor de II.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas{kx+2y=22x+ky=kx−y=−1\begin{cases} kx + 2y = 2 \\ 2x + ky = k \\ x - y = -1 \end{cases}
a
Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro kk.0,5 pts
b
Especifica para qué valores del parámetro kk es determinado y para cuáles indeterminado.1 pt
c
Halla las soluciones en cada caso.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean los puntos A(0,0,1)A(0, 0, 1), B(1,0,1)B(1, 0, 1), C(0,1,−2)C(0, 1, -2) y D(1,2,0)D(1, 2, 0).
a
Halla la ecuación del plano π\pi determinado por los puntos AA, BB y CC.1 pt
b
Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.0,5 pts
c
Calcula la distancia del punto DD al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función ff definida por f(x)=e−x1−xf(x) = \frac{e^{-x}}{1 - x} para x≠1x \neq 1.
a
Estudia las asíntotas de la gráfica de la función ff.1,25 pts
b
Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=9−x24f(x) = \frac{9 - x^2}{4}.
a
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=1x = 1.0,75 pts
b
Esboza el recinto limitado por la gráfica de ff, la recta x+2y=5x + 2y = 5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas{x−y=λ2λy+λz=λ−x−y+λz=0\begin{cases} x - y = \lambda \\ 2\lambda y + \lambda z = \lambda \\ -x - y + \lambda z = 0 \end{cases}
a
Clasifícalo según los distintos valores del parámetro λ\lambda.1,25 pts
b
Resuélvelo para λ=0\lambda = 0 y λ=−1\lambda = -1.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Halla el punto simétrico de P(2,1,−5)P(2, 1, -5) respecto de la recta rr definida por{x−z=0x+y+2=0\begin{cases} x - z = 0 \\ x + y + 2 = 0 \end{cases}
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