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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2025

7 ejercicios

Instrucciones

La prueba consta de cuatro partes: la primera no tiene diferentes opciones, y las otras tres tienen dos posibles problemas, a contestar uno. En caso de contestar dos problemas de una misma parte, solo se evaluará el primero. Justificad las respuestas usando lenguaje matemático y/o no matemático, según corresponda. Se permite utilizar calculadora científica básica, pero NO se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos que puedan transmitir o almacenar información. Se pueden usar reglas y bolígrafos de colores (excepto rojo y verde).

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Part A
Una empresa de transporte marítimo ha diseñado un nuevo contenedor metálico en forma de prisma rectangular tal como se muestra en la figura. El contenedor diseñado tiene una base de dimensiones 33 metros por 22 metros y una altura de 2,52{,}5 metros. En el interior del contenedor se colocan un total de dos vigas para reforzar la estructura, las cuales se colocan sobre la diagonal de cada una de las caras de dimensión 3×2,53 \times 2{,}5 metros, tal como se muestra en la figura (segmentos discontinuos).
Diagrama de un contenedor prismático con dimensiones 3m, 2m y 2,5m, mostrando las vigas diagonales y la puerta de acceso.
a
Escoge un vértice del prisma regular y sobre él determina un sistema de referencia cartesiano, el cual tendrá como origen este vértice. Indica, con este sistema de referencia, cuáles son las coordenadas de cada uno de los diferentes vértices del prisma rectangular.1 pt
b
Calcula la longitud de las dos vigas y calcula la ecuación del plano que las contiene. Justifica el proceso.1 pt
c
Una de las dos caras de dimensión 2×2,52 \times 2{,}5 metros constituye la puerta del contenedor tal como se muestra en la figura. ¿Podríamos introducir una lámina de hierro cuadrada muy fina de dimensiones 2,75×2,752{,}75 \times 2{,}75 metros?0,5 pts
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Ejercicio 1 · A · Part B

1Opción A
2,5 puntos
Part B

Elija solo un problema de esta parte.

Dado el sistema{kx+y=1ky+z=03x−y−z=0\begin{cases} k x + y = 1 \\ k y + z = 0 \\ 3 x - y - z = 0 \end{cases}donde kk es un número real cualquiera.
a
Discute, según el parámetro kk, el número de soluciones que tiene el sistema.1,5 pts
b
Resuelve el sistema cuando sea posible.1 pt
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Ejercicio 1 · A · Part C

1Opción A
2,5 puntos
Part C

Elija solo un problema de esta parte.

Dada la curva y(x)=x2−4y(x) = x^2 - 4.
a
Calcula la recta tangente, rr, a la curva yy por el punto (2,0)(2, 0).1 pt
b
Calcula el área de la región comprendida entre la curva yy, el eje OYOY y la recta rr.1,5 pts
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Ejercicio 1 · A · Part D

1Opción A
2,5 puntos
Part D

Elija solo un problema de esta parte.

Una empresa de construcción de drones ha hecho un estudio sobre la vida media de sus productos. Se ha detectado que el 45%45\% de sus productos se estropean antes de los 55 años. De entre estos objetos estropeados, el 40%40\% han sufrido un mal uso por parte de los usuarios, mientras que, de los productos no estropeados, se sabe que el 55%55\% también sufrieron un mal uso por parte de los usuarios.
a
Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos del estudio, ¿cuál es la probabilidad de obtener un producto que no se hubiera estropeado antes de los 55 años?0,75 pts
b
Si se selecciona aleatoriamente uno de los productos no estropeados antes de los 55 años, ¿cuál es la probabilidad de que se haya hecho un buen uso?0,75 pts
c
Si se selecciona aleatoriamente un producto del estudio y se sabe que este sufrió un mal uso por parte del usuario, ¿cuál es la probabilidad de que no estuviera estropeado antes de los 55 años?1 pt
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Ejercicio 2 · B · Part B

2Opción B
2,5 puntos
Part B

Elija solo un problema de esta parte.

Estás gestionando un puesto de comida y bebidas en un partido de baloncesto. Vendes frankfurts, hamburguesas y refrescos. Cada frankfurt cuesta 3,503{,}50 €, cada hamburguesa cuesta 44 € y cada refresco cuesta 1,501{,}50 €. Al final de la noche, nos piden reportar cuántos frankfurts, hamburguesas y refrescos se han vendido.
a
¿Lo podrías reportar sabiendo que has recaudado un total de 328328 € y has vendido 132132 artículos entre frankfurts, hamburguesas y refrescos? Justifica la respuesta.1 pt
b
Si, además, sabemos que se han vendido 2020 hamburguesas. ¿Cuántos frankfurts y cuántos refrescos se han vendido?1,5 pts
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Ejercicio 2 · B · Part C

2Opción B
2,5 puntos
Part C

Elija solo un problema de esta parte.

La concentración (en %) de hidrógeno de un cierto compuesto químico viene dada, en función del tiempo (t≥0t \geq 0), por la funciónH(t)=201+e−tH(t) = \frac{20}{1 + e^{-t}}donde el tiempo está medido en segundos.
a
¿Cuál es la concentración inicial?0,5 pts
b
Comprueba que la concentración de hidrógeno es siempre creciente.1 pt
c
Calcula hacia qué valor tiende la concentración a medida que pasa el tiempo.1 pt
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Ejercicio 2 · B · Part D

2Opción B
2,5 puntos
Part D

Elija solo un problema de esta parte.

Sean AA y BB dos sucesos de un experimento aleatorio. Sean A′A' y B′B' los sucesos complementarios de AA y BB, respectivamente, y sea A−BA - B el conjunto de sucesos elementales de AA que no son de BB. Dadas las probabilidades P(A)=0,75P(A) = 0{,}75, P(B′)=0,45P(B') = 0{,}45 y P(A−B)=0,3P(A - B) = 0{,}3, calcula:
a
P(A∩B)P(A \cap B).0,75 pts
b
P(B−A)P(B - A).0,75 pts
c
P(A′∩B′)P(A' \cap B').1 pt
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