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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2016

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. Está permitido el uso de calculadoras científicas que no sean programables. La tabla de la distribución normal está en el anverso de esta hoja.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Consideramos la función lineal F(x,y)=15x+6yF(x, y) = 15x + 6y definida en el plano XY y las siguientes restricciones:6≤2x+3y≤29,0≤y≤−1+2x,5x+2y≤45. 6 \leq 2x + 3y \leq 29, \quad 0 \leq y \leq -1 + 2x, \quad 5x + 2y \leq 45.
a
Dibujar en el plano XY la región de soluciones factibles que cumplen las restricciones.1,5 pts
b
Hallar los máximos y mínimos de la función F(x,y)F(x, y) en la región descrita en el apartado anterior.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
El polinomio cúbico f(x)=ax3+bx−22f(x) = ax^3 + bx - 22 pasa por el punto (1,0)(1,0) y tiene un máximo en x=2x = 2. Responder las siguientes preguntas:
a
Encontrar con la información anterior los coeficientes aa y bb.1,5 pts
b
Encontrar el mínimo y el máximo de la función f(x)f(x) y hacer un esbozo de la gráfica del polinomio con todas sus características significativas.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Un productor de Ecuador y otro de Brasil trasladan cajas idénticas de una tonelada (tn) de peso a un almacén. Cada caja puede contener plátanos o café. El productor de Brasil aporta 600 cajas de plátanos y 1.200 de café y el de Ecuador aporta 750 cajas de plátanos y un número desconocido de cajas de café. Responder las siguientes preguntas:
a
¿Cuántas toneladas de café habrá aportado Ecuador si el café es el 60 % del contenido del almacén?0,66 pts
b
Un cliente compra café de Ecuador dejando sólo 400 tn de este producto en el almacén. Si alguien elige al azar consecutivamente dos cajas, ¿cuál es la probabilidad de que sean del mismo país?0,66 pts
c
¿Qué probabilidad hay de que si una caja elegida al azar es de plátanos, su origen sea Ecuador?0,66 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
En una muestra de 300 universitarios el 80 % ha respondido que acude semanalmente al cine.
a
¿Entre qué valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95 %, la proporción del total de universitarios que acude todas las semanas al cine?1 pt
b
¿Y el intervalo para la proporción anterior con un nivel de confianza del 99 %?1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Dada la matriz A=(3−3ab)A = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ a & b \end{pmatrix}, determinar los valores de los parámetros aa y bb para que se verifique la ecuación matricial A2=2AA^2 = 2A.1,5 pts
b
Dadas las matrices B=(10−11)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} y C=(1201)C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, calcular la matriz D=B50⋅CTD = B^{50} \cdot C^T (CTC^T es la matriz traspuesta de CC).1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
A lo largo de la semana una planta potabilizadora de agua aporta al depósito municipal una cantidad de litros expresada por la función p(x)=10x2−100x+550p(x) = 10x^2 - 100x + 550, donde 0≤x≤70 \leq x \leq 7 representa el instante de la semana medido en días. De la misma manera, la demanda de agua se representa por la función d(x)=−10x2+80x+240d(x) = -10x^2 + 80x + 240. Por un lado el flujo de agua en el instante xx es la diferencia entre lo aportado y lo extraído, es decir, f(x)=p(x)−d(x)f(x) = p(x) - d(x) y por otro el excedente e(r)e(r) es la cantidad de agua acumulada hasta el momento rr, e(r)=∫0rf(x)dxe(r) = \int_{0}^{r} f(x) dx. Responder:
a
¿Cuál es el instante de mayor demanda?1 pt
b
¿En qué intervalo de tiempo el flujo es negativo, es decir, el depósito se está vaciando?1 pt
c
¿Cuál es el excedente al final de la semana (r=7r = 7)?1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Un concesionario vende vehículos de dos gamas: U (urbano) y L (lujoso). El 60 % son de la gama U; de éstos, el 4 % vienen con cambio automático (A), mientras que el resto de los de gama U son de cambio manual (M). En el stock total el porcentaje de vehículos con cambio automático A es el 5 % y de cambio manual M el 95 %.
a
Si se elige un vehículo al azar y tiene cambio automático, hallar la probabilidad de que sea urbano.1 pt
b
¿Qué porcentaje de vehículos de lujo tienen cambio automático?1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Las calificaciones de 1000 estudiantes sometidos a un test de inteligencia se distribuyen normalmente con media 70 y desviación típica 20. Calcular:
a
La probabilidad de que un estudiante obtenga más de 80 puntos.0,66 pts
b
La probabilidad de que un estudiante obtenga menos de 50 puntos.0,66 pts
c
¿Cuál es, con una probabilidad del 95 %, la calificación máxima que se puede esperar alcanzar?0,66 pts
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