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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2020Variante 3

Matemáticas II · Andalucía 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función ff definida por f(x)=x3x2−1f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} para x≠1,−1x \neq 1, -1.
a
Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.1,25 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina la única función derivable f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} que cumple que f(0)=1,f′(0)=1f(0) = 1, f'(0) = 1 y f′′(x)=ex(x+2)f''(x) = e^x(x + 2).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean las matrices:A=(211101),B=(10−1m11),X=(xyz) y C=(2−23)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & m \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}
a
Determina los valores de mm para los que ABAB no tiene inversa.0,75 pts
b
Determina los valores de mm para los que BABA no tiene inversa.0,75 pts
c
Para m=0m = 0, resuelve, si es posible, el sistema dado por BAX=CBAX = C y halla una solución en la que x+y+z=0x + y + z = 0.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los puntos A(t,2,−1),B(0,1,1),C(−1,0,2)A(t, 2, -1), B(0, 1, 1), C(-1, 0, 2) y D(2,3,−t−1)D(2, 3, -t - 1).
a
Calcula el valor o valores de tt para que el volumen del tetraedro de vértices A,B,C,DA, B, C, D sea 55 unidades cúbicas.1,25 pts
b
Para t=0t = 0, calcula la distancia del punto AA a la recta determinada por los puntos BB y CC.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Se sabe que la función f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tiene un punto crítico en x=0x = 0, que su gráfica pasa por (0,3)(0, 3) y que la recta y=−2x+2y = -2x + 2 es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa x=1x = 1. Calcula a,b,ca, b, c y dd.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Calcula el valor de a>0a > 0 para que el área comprendida entre la parábola y=3x2−2axy = 3x^2 - 2ax y el eje de abscisas sea 44 unidades cuadradas.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera las matrices A=(1112)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} y B=(2120)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}.
a
Sabiendo que una matriz XX verifica que X3AX=B2X^3 A X = B^2, halla los posibles valores de su determinante.1 pt
b
Determina, si existe, una matriz YY que verifique A2YB−1=AA^2 Y B^{-1} = A.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Considera el punto A(0,1,−2)A(0, 1, -2) y los planos π1≡2x−y−z+5=0\pi_1 \equiv 2x - y - z + 5 = 0 y π2≡x+5y−6z−4=0\pi_2 \equiv x + 5y - 6z - 4 = 0.
a
Halla el punto simétrico de AA respecto de π1\pi_1.1,5 pts
b
Determina la recta que pasa por AA y es paralela a π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
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