Matemáticas II · Asturias 2013

Dado el sistema $$\begin{cases} x - y + a z = 1 \\ a x + 3 y + z = 0 \\ 2 x + a y + 2 a z = 2 \end{cases}$$

Considere la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Sea $s$ la recta que pasa por los puntos $A(1, 1, 0)$ y $B(0, 1, 0)$. Considere la recta $r: \begin{cases} y = 0 \\ z = 2 \end{cases}$.

Considere un movimiento en el espacio tal que a cada punto de coordenadas $(a, b, c)$ lo mueve al punto de coordenadas $(a+b, a+b+c, a+b)$.

Se considera la función real $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, donde $a$, $b$ y $c$ son números reales. Encuentre los valores de $a$, $b$ y $c$ para los que las rectas tangentes a la gráfica de $f(x)$ en los puntos de abscisas $x = 2$ y $x = 4$ sean paralelas al eje OX, sabiendo además que el punto de inflexión de la gráfica de $f(x)$ está en el eje OX.

Considere la función real de variable real $f(x) = \frac{2x^3}{x^2 - 1}$

Calcule:

Sea $f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 & \text{si } x \le 1 \\ \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$, donde $\ln(x)$ significa logaritmo neperiano de $x$.