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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Asturias 2013

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados y completamente explicados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{x−y+az=1ax+3y+z=02x+ay+2az=2\begin{cases} x - y + a z = 1 \\ a x + 3 y + z = 0 \\ 2 x + a y + 2 a z = 2 \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los valores del número real aa.1,5 pts
b
Resuélvalo, si es posible, cuando a=−2a = -2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea ss la recta que pasa por los puntos A(1,1,0)A(1, 1, 0) y B(0,1,0)B(0, 1, 0). Considere la recta r:{y=0z=2r: \begin{cases} y = 0 \\ z = 2 \end{cases}.
a
Escriba unas ecuaciones cartesianas de la recta ss.0,75 pts
b
Dé la posición relativa de las rectas rr y ss.0,75 pts
c
Obtenga la distancia entre rr y ss.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se considera la función real f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, donde aa, bb y cc son números reales. Encuentre los valores de aa, bb y cc para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x)f(x) en los puntos de abscisas x=2x = 2 y x=4x = 4 sean paralelas al eje OX, sabiendo además que el punto de inflexión de la gráfica de f(x)f(x) está en el eje OX.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule:
a
lim⁡x→0ex−e−x−2xx−sen⁡x\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x} - 2x}{x - \sen x}1,25 pts
b
lim⁡x→0(1x)sen⁡(x/2)\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} \right)^{\sen(x/2)}1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la matriz A=(0201−10001)A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Escriba factorizado el polinomio p(x)=det⁡(A−xI3)p(x) = \det(A - xI_3) donde I3I_3 es la matriz identidad de orden 3.1 pt
b
Busque las raíces de p(x)p(x).0,5 pts
c
Resuelva el sistema homogéneo con matriz A−xI3A - xI_3 cuando sea compatible indeterminado.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere un movimiento en el espacio tal que a cada punto de coordenadas (a,b,c)(a, b, c) lo mueve al punto de coordenadas (a+b,a+b+c,a+b)(a+b, a+b+c, a+b).
a
Busque el conjunto de puntos que se mueven al origen de coordenadas.1 pt
b
Dé una ecuación cartesiana del plano π\pi que determinan los puntos del apartado a) y el punto (1,1,1)(1,1,1).1 pt
c
Busque la distancia del origen de coordenadas al plano π\pi.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función real de variable real f(x)=2x3x2−1f(x) = \frac{2x^3}{x^2 - 1}
a
Calcule la ecuación de sus asíntotas, si existen.1 pt
b
Estudie sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como las abscisas de sus extremos relativos, si los tiene, y clasifíquelos.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea f(x)={(x−1)2si x≤1ln⁡(x)si x>1f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 & \text{si } x \le 1 \\ \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}, donde ln⁡(x)\ln(x) significa logaritmo neperiano de xx.
a
Dibuje el recinto acotado comprendido entre la gráfica de f(x)f(x) y la recta y=1y = 1.1,25 pts
b
Calcule el área del recinto anterior.1,25 pts
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