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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2026

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
90 minutos.
Qué responder
Responde a las preguntas 1, 2 y 3 y elige una de las dos alternativas en cada una de las preguntas 4 y 5.
Puntuación
Cada ejercicio completo vale 2 puntos.
Material
Solo se permite el uso de calculadoras de tipo 1 y 2, tal y como se indica en la información de las pruebas.
Además
Si resuelves las dos alternativas de una pregunta, solo se corrige la primera que hayas resuelto. Redacta las respuestas con claridad, detalladamente y razonándolas; la falta de rigor matemático se puede penalizar con hasta 1 punto en todo el examen.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte A
Durante la misión Dulcinea, el equipo de control clasifica las alertas técnicas detectadas a bordo en tres sistemas: sistema de navegación, que genera el 50%50\% de las alertas, el sistema de comunicaciones, que genera el 30%30\% de las alertas y el sistema de soporte vital, que genera el 20%20\% de las alertas. Además, se sabe que el 4%4\% de las alertas de navegación, el 6%6\% de las de comunicaciones y el 10%10\% de las alertas de soporte vital, son críticas. Si se elige una alerta al azar.
a
Calcula la probabilidad de que la alerta sea crítica.1 pt
b
Sabiendo que la alerta no es crítica, calcula la probabilidad de que proceda del soporte vital.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Parte A
Durante una campaña de promoción de productos de Castilla-La Mancha, una empresa dedicada a la venta de azafrán estima que el beneficio diario obtenido, expresado en cientos de euros, viene dado por la función:B(x)=80x⋅e−0,5xB(x) = 80x \cdot e^{-0{,}5x}Donde xx representa el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña
a
Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función B(x)B(x) y determina el día en que el beneficio diario es máximo1,25 pts
b
A largo plazo, ¿tiende el beneficio diario a estabilizarse en algún valor? En caso afirmativo determina dicho valor e interprételo en el contexto del problema.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Parte A
a
Determina los valores de aa y bb para que las matrices AA y BB cumplan que A⋅B=IA \cdot B = I, donde II es la matriz identidad de orden 3.A=(1a112111b),A = \begin{pmatrix}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & b\end{pmatrix},B=(3−1−1−110−101)B = \begin{pmatrix}3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{pmatrix}1 pt
b
Resuelve razonadamente el siguiente sistema de ecuaciones {X+Y=(1023)2X+3Y=(4179)\begin{cases}X + Y = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3\end{pmatrix} \\ 2X + 3Y = \begin{pmatrix}4 & 1 \\ 7 & 9\end{pmatrix}\end{cases}1 pt
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Ejercicio 4.1 o 4.2

4.1o4.2
2 puntos
Parte B

Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (4.1 o 4.2)

Dados los vectores u⃗=(1,−1,a)\vec{u} = (1, -1, a), v⃗=(2,a,1)\vec{v} = (2, a, 1) y w⃗=(−1,1,−1)\vec{w} = (-1, 1, -1), se pide:
a
Halla los valores reales de aa para que los tres vectores sean coplanarios. Justifica tu respuesta.0,75 pts
b
Halla los valores reales de aa para que el volumen del paralelepípedo formado por los vectores del enunciado sea 10 u310\,\text{u}^3. .1,25 pts
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Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (4.1 o 4.2)

En un parque público, se está instalando un sistema de vigilancia mediante sensores de movimiento a ambos lados de un muro recto. Dicho muro está representado por el plano de ecuación:π≡x+y+z−6=0.\pi \equiv x + y + z - 6 = 0.Uno de los sensores está situado en el punto de coordenadas P(1,2,6)P(1, 2, 6) y se desea instalar un segundo sensor en el punto P′P', simétrico del anterior respecto del plano π\pi.
a
Determina razonadamente las coordenadas del punto de instalación del segundo sensor, P′P'.1,25 pts
b
Calcula la distancia entre los dos sensores.0,75 pts
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Ejercicio 5.1 o 5.2

5.1o5.2
2 puntos
Parte B

Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (5.1 o 5.2)

a
Calcula justificadamente el siguiente límite: lim⁡x→∞(2x+12x−3)x\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)^x1 pt
b
Calcula justificadamente la siguiente integral: ∫ex⋅sen⁡x dx\displaystyle\int e^x \cdot \operatorname{sen}x\,dx1 pt
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Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (5.1 o 5.2)

Sea la funciónf(x)={x2−1x−1si x<1ax+bsi x≥1,f(x) = \begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1} & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } x \ge 1\end{cases},donde aa y bb son números reales. Determina los valores de aa y bb para que la función sea continua y derivable en x=1x=1
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