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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2016

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {ax−z=a2x+ay+z=12x+z=2\begin{cases} ax - z = a \\ 2x + ay + z = 1 \\ 2x + z = 2 \end{cases}, donde aa es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
Los valores del parámetro aa para los cuales el sistema es incompatible.
b)3 pts
Todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.
c)3 pts
La solución del sistema cuando a=−1a = -1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se da la matriz A=(50001−2021)A = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
La comprobación de que A−1=5−1AtA^{-1} = 5^{-1} A^t, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA.
b)3 pts
Los valores del parámetro real λ\lambda para los cuales A−λIA - \lambda I no es invertible, siendo II la matriz identidad de orden 3.
c)3 pts
El determinante de una matriz cuadrada BB cuyo determinante es mayor que 0 y verifica la ecuación B−1=BtB^{-1} = B^t.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Se dan las rectas r:{x−2y+z+3=03x+y−z+1=0r : \begin{cases} x - 2y + z + 3 = 0 \\ 3x + y - z + 1 = 0 \end{cases} y s:{x=1y=2αz=α−2s : \begin{cases} x = 1 \\ y = 2\alpha \\ z = \alpha - 2 \end{cases}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
La recta paralela a rr que pasa por el punto (0,1,0)(0, 1, 0).
b)3 pts
El plano π\pi que contiene a la recta rr y es paralelo a ss.
c)4 pts
La distancia entre las rectas rr y ss.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Se da el plano π:6x+3y+2z−12=0\pi : 6x + 3y + 2z - 12 = 0 y los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0) y C(0,0,3)C(0, 0, 3). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
La ecuación implícita del plano σ\sigma que pasa por los puntos AA, BB y CC, y la posición relativa de los planos σ\sigma y π\pi.
b)3 pts
El área del triángulo de vértices AA, BB y CC.
c)3 pts
Un punto PP del plano π\pi y el volumen del tetraedro cuyos vértices son AA, BB, CC y PP.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Se da la función ff definida por f(x)=1x2−5x+6f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x + 6}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)2 pts
Dominio y asíntotas de la función ff.
b)3 pts
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff.
c)3 pts
La integral ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.
d)2 pts
El valor de a>4a > 4 para el que el área de la superficie limitada por la curva y=f(x)y = f(x) y las rectas y=0y = 0, x=4x = 4 y x=ax = a es ln⁡(3/2)\ln(3/2).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Cada día, una planta productora de acero vende xx toneladas de acero de baja calidad e yy toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de producción debe suceder que y=23−5x10−xy = \frac{23 - 5x}{10 - x} siendo 0<x<2350 < x < \frac{23}{5}. El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
Los ingresos obtenidos en un día en función de xx.
b)5 pts
Cuántas toneladas de cada tipo de acero se deben vender en un día para que los ingresos obtenidos ese día sean máximos.
c)2 pts
El ingreso máximo que se puede obtener por las ventas de acero en un día.
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