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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2016

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {ax−z=a2x+ay+z=12x+z=2\begin{cases} ax - z = a \\ 2x + ay + z = 1 \\ 2x + z = 2 \end{cases}, donde aa es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores del parámetro aa para los cuales el sistema es incompatible.4 pts
b
Todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado.3 pts
c
La solución del sistema cuando a=−1a = -1.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan las rectas r:{x−2y+z+3=03x+y−z+1=0r : \begin{cases} x - 2y + z + 3 = 0 \\ 3x + y - z + 1 = 0 \end{cases} y s:{x=1y=2αz=α−2s : \begin{cases} x = 1 \\ y = 2\alpha \\ z = \alpha - 2 \end{cases}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La recta paralela a rr que pasa por el punto (0,1,0)(0, 1, 0).3 pts
b
El plano π\pi que contiene a la recta rr y es paralelo a ss.3 pts
c
La distancia entre las rectas rr y ss.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se da la función ff definida por f(x)=1x2−5x+6f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x + 6}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Dominio y asíntotas de la función ff.2 pts
b
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff.3 pts
c
La integral ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.3 pts
d
El valor de a>4a > 4 para el que el área de la superficie limitada por la curva y=f(x)y = f(x) y las rectas y=0y = 0, x=4x = 4 y x=ax = a es ln⁡(3/2)\ln(3/2).2 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da la matriz A=(50001−2021)A = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La comprobación de que A−1=5−1AtA^{-1} = 5^{-1} A^t, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA.4 pts
b
Los valores del parámetro real λ\lambda para los cuales A−λIA - \lambda I no es invertible, siendo II la matriz identidad de orden 3.3 pts
c
El determinante de una matriz cuadrada BB cuyo determinante es mayor que 0 y verifica la ecuación B−1=BtB^{-1} = B^t.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se da el plano π:6x+3y+2z−12=0\pi : 6x + 3y + 2z - 12 = 0 y los puntos A(1,0,0)A(1, 0, 0), B(0,2,0)B(0, 2, 0) y C(0,0,3)C(0, 0, 3). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La ecuación implícita del plano σ\sigma que pasa por los puntos AA, BB y CC, y la posición relativa de los planos σ\sigma y π\pi.4 pts
b
El área del triángulo de vértices AA, BB y CC.3 pts
c
Un punto PP del plano π\pi y el volumen del tetraedro cuyos vértices son AA, BB, CC y PP.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Cada día, una planta productora de acero vende xx toneladas de acero de baja calidad e yy toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de producción debe suceder que y=23−5x10−xy = \frac{23 - 5x}{10 - x} siendo 0<x<2350 < x < \frac{23}{5}. El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los ingresos obtenidos en un día en función de xx.3 pts
b
Cuántas toneladas de cada tipo de acero se deben vender en un día para que los ingresos obtenidos ese día sean máximos.5 pts
c
El ingreso máximo que se puede obtener por las ventas de acero en un día.2 pts
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