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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las dos opciones, A y B, propuestas. Disponéis de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Podéis utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autoriza el uso de las que puedan almacenar o transmitir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales{x+y=1ax+z=0x+(1+a)y+az=a+1\begin{cases} x + y = 1 \\ a x + z = 0 \\ x + (1 + a) y + a z = a + 1 \end{cases}determina el parámetro aa, y resuelve siempre que se pueda, de manera que el sistema:
a
tenga solución única.4 pts
b
tenga infinitas soluciones.4 pts
c
no tenga solución.2 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Una empresa tiene tres minas: A, B y C, y en cada una, el mineral extraído contiene los elementos químicos: níquel (Ni), cobre (Cu) y hierro (Fe), en diferente concentración. Las concentraciones son: • Mina A: Ni (1%), Cu (2%), Fe (3%), • Mina B: Ni (2%), Cu (5%), Fe (7%), • Mina C: Ni (1%), Cu (3%), Fe (1%). Para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro en total, ¿cuántas toneladas de mineral se han de extraer de cada mina?
a
Plantea un sistema de ecuaciones que interprete el enunciado.4 pts
b
Clasifica el sistema.2 pts
c
Resuelve el sistema.4 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada pory=f(x)=x3−3xy = f(x) = x^3 - 3x
a
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=−1x = -1.2 pts
b
Haz un esbozo de la gráfica de y=f(x)y = f(x) y calcula: los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el comportamiento de la función en el infinito.4 pts
c
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función dada y la recta y=2y = 2.4 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Considera la función f(x)=3x2−xf(x) = \frac{3}{x^2 - x}.
a
Calcula su dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.3 pts
b
Calcula una primitiva cualquiera de f(x)f(x).4 pts
c
Calcula el área delimitada por la gráfica de la función y=f(x)y = f(x), el eje OX y las rectas x=2x = 2 y x=3x = 3.3 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Considera el punto P=(2,−1,1)P = (2, -1, 1) y la recta rr dada por{2x−3y+4z−1=0x+2y−3z−2=0(r)\begin{cases} 2x - 3y + 4z - 1 = 0 \\ x + 2y - 3z - 2 = 0 \end{cases} (r)
a
Calcula la expresión de la ecuación continua de la recta rr.2 pts
b
Calcula la ecuación del plano, Π\Pi, perpendicular a la recta rr que pasa por el punto PP.2 pts
c
Calcula el punto, QQ, de intersección del plano Π\Pi con la recta rr.3 pts
d
De todas las rectas que pasan por el punto P=(2,−1,1)P = (2, -1, 1), calcula aquella que corta perpendicularmente a la recta rr.3 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Dada la recta rr y el plano π\pi(r)x−12=y+13=z+2−1,(π)3x−my+z=1,(r) \quad \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{-1}, \qquad (\pi) \quad 3x - my + z = 1,se pide si existe algún valor del parámetro mm para el cual:
a
el plano y la recta son paralelos. En caso de que exista, calcúlalo.4 pts
b
o bien, el plano contiene la recta. En caso de que exista, calcúlalo.3 pts
c
o bien, el plano y la recta se cortan exactamente en un punto. En caso de que exista, calcúlalo.3 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
10 puntos
El número de horas de vida de un cierto tipo de bacteria (tipo A) se distribuye según una normal de media 110110 horas y desviación típica de 0,750{,}75 horas. Calcula la probabilidad de que, escogiendo al azar una bacteria:
a
su número de horas de vida sobrepase las 112,25112{,}25 horas.4 pts
b
su número de horas de vida sea inferior a 109,25109{,}25 horas.4 pts
c
De otra bacteria (tipo B) se sabe que el número de horas de vida se distribuye según una normal de media 110110 horas, pero se desconoce su desviación típica. Experimentalmente se ha comprobado que la probabilidad de que una bacteria tipo B viva más de 125125 horas es 0,15870{,}1587. Calcula la desviación típica de la distribución del número de horas de vida de las bacterias tipo B.2 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
10 puntos
Una empresa de fabricación de impresoras tiene dos centros de producción, la fábrica europea (E) y la fábrica asiática (A). El 1%1\% de las impresoras de la fábrica E y el 3%3\% de las impresoras de la fábrica A se producen con un defecto. El mercado de un determinado país se abastece de impresoras procedentes de la fábrica E en un 80%80\%, mientras que el resto proviene de la fábrica A.
a
¿Cuál es la probabilidad de que una impresora de este país tenga el defecto?4 pts
b
Si el país tiene, aproximadamente, dos millones de impresoras fabricadas por esta empresa, ¿cuántas tendrán el defecto?2 pts
c
Si se escoge al azar una impresora de este país y resulta ser una impresora defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica E?4 pts
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