Matemáticas II · Extremadura 2025

Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde $k \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + ky + z = 2 + k \\ 2x - y - kz = 1 - k \\ x - y - z = -1 \end{cases}$$ a) Discutir el sistema en función del parámetro k. (1,5 puntos) b) Resolver para el caso $k=1$. (1 punto)

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ con $m \in \mathbb{R}$. a) Calcular el valor de $m$ para que se verifique la igualdad $A^2 - A = B$. (1 punto) b) Calcular $m$ para que la matriz $A + B - I$ tenga inversa siendo $I$ la matriz unidad de orden 2. (0,75 puntos) c) Para $m=2$ obtener la inversa de la matriz $A + B - I$. (0,75 puntos)

Dada la función $f(x) = (x-1)e^{-x}$: a) Determina los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. (1 punto) b) Determina la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de $f(x)$. (1 punto) c) Calcula la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ para $x=1$. (0,5 puntos)

Dadas las funciones $f(x) = 2$ y $g(x) = x^3 + x^2 - 2x$: a) Calcular $\displaystyle\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx$. (1,25 puntos) b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$. (1,25 puntos)

a) Comprobar que el plano $\pi = x + y - z = 3$ y la recta $r \equiv \dfrac{x}{3} = \dfrac{y-1}{-1} = \dfrac{z+1}{2}$ no se cortan. (1 punto) b) Calcular la distancia entre el plano $\pi$ y la recta $r$ del apartado anterior. (1 punto) c) Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta $r$ y que pase por el punto $(0,1,-1)$. (0,5 puntos)

Dados los puntos $A(1,0,2)$, $B(1,m,6)$, $C(2,1,4)$ y $D(4,3,2)$. Se pide: a) Calcular $m$ para que los 4 puntos sean coplanarios. (1 punto) b) Obtener la ecuación general del plano $ACD$. (0,5 puntos) c) Para $m=2$, calcular un vector perpendicular al plano $ABC$ de módulo 4 y calcular el área del triángulo $ABC$. (1 punto)

Se sabe que la altura de los estudiantes de segundo de bachillerato de una cierta población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 174 cm y desviación típica 12 cm. a) Calcular el porcentaje de estudiantes cuya altura está entre 162 cm y 186 cm. (1 punto) b) ¿Qué altura tendrá un alumno si el 67% de los estudiantes miden más que él? (1 punto) c) Si tomamos una muestra de 1000 estudiantes de esa población ¿cuántos tendrán una altura superior a 170 cm? (0,5 puntos)