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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El estudiante deberá resolver cuatro ejercicios de los propuestos en este examen. Los ejercicios 1, 2 y 3 tienen dos opciones A y B. Solo hay que contestar una de las dos opciones (A o B). Si se contesta a las dos se corregirá solo la que aparezca en primer lugar, salvo que esté tachada. El ejercicio 4 es único y obligatorio. CADA EJERCICIO COMPLETO PUNTUARÁ 2,5 PUNTOS MÁXIMO. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1A · Opción A

1AOpción A
2,5 puntos
Bloque 1
Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde k∈Rk \in \mathbb{R}:{x+ky+z=2+k2x−y−kz=1−kx−y−z=−1\begin{cases} x + ky + z = 2 + k \\ 2x - y - kz = 1 - k \\ x - y - z = -1 \end{cases}a) Discutir el sistema en función del parámetro k. (1,5 puntos) b) Resolver para el caso k=1k=1. (1 punto)
a
Discutir el sistema en función del parámetro k.1,5 pts
b
Resolver para el caso k=1k=1.1 pt
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Ejercicio 1B · Opción B

1BOpción B
2,5 puntos
Bloque 1
Sean las matrices A=(m10−m)A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix} y B=(0−102)B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} con m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Calcular el valor de mm para que se verifique la igualdad A2−A=BA^2 - A = B. (1 punto) b) Calcular mm para que la matriz A+B−IA + B - I tenga inversa siendo II la matriz unidad de orden 2. (0,75 puntos) c) Para m=2m=2 obtener la inversa de la matriz A+B−IA + B - I. (0,75 puntos)
a
Calcular el valor de mm para que se verifique la igualdad A2−A=BA^2 - A = B.1 pt
b
Calcular mm para que la matriz A+B−IA + B - I tenga inversa siendo II la matriz unidad de orden 2.0,75 pts
c
Para m=2m=2 obtener la inversa de la matriz A+B−IA + B - I.0,75 pts
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Ejercicio 2A · Opción A

2AOpción A
2,5 puntos
Bloque 2
Dada la función f(x)=(x−1)e−xf(x) = (x-1)e^{-x}: a) Determina los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x). (1 punto) b) Determina la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de f(x)f(x). (1 punto) c) Calcula la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) para x=1x=1. (0,5 puntos)
a
Determina los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1 pt
b
Determina la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de f(x)f(x).1 pt
c
Calcula la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) para x=1x=1.0,5 pts
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Ejercicio 2B · Opción B

2BOpción B
2,5 puntos
Bloque 2
Dadas las funciones f(x)=2f(x) = 2 y g(x)=x3+x2−2xg(x) = x^3 + x^2 - 2x: a) Calcular ∫f(x)g(x) dx\displaystyle\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx. (1,25 puntos) b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de g(x)g(x) y el eje XX. (1,25 puntos)
a
Calcular ∫f(x)g(x) dx\displaystyle\int \frac{f(x)}{g(x)}\,dx.1,25 pts
b
Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de g(x)g(x) y el eje XX.1,25 pts
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Ejercicio 3A · Opción A

3AOpción A
2,5 puntos
Bloque 3
a) Comprobar que el plano π=x+y−z=3\pi = x + y - z = 3 y la recta r≡x3=y−1−1=z+12r \equiv \dfrac{x}{3} = \dfrac{y-1}{-1} = \dfrac{z+1}{2} no se cortan. (1 punto) b) Calcular la distancia entre el plano π\pi y la recta rr del apartado anterior. (1 punto) c) Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta rr y que pase por el punto (0,1,−1)(0,1,-1). (0,5 puntos)
a
Comprobar que el plano π=x+y−z=3\pi = x + y - z = 3 y la recta r≡x3=y−1−1=z+12r \equiv \dfrac{x}{3} = \dfrac{y-1}{-1} = \dfrac{z+1}{2} no se cortan.1 pt
b
Calcular la distancia entre el plano π\pi y la recta rr del apartado anterior.1 pt
c
Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta rr y que pase por el punto (0,1,−1)(0,1,-1).0,5 pts
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Ejercicio 3B · Opción B

3BOpción B
2,5 puntos
Bloque 3
Dados los puntos A(1,0,2)A(1,0,2), B(1,m,6)B(1,m,6), C(2,1,4)C(2,1,4) y D(4,3,2)D(4,3,2). Se pide: a) Calcular mm para que los 4 puntos sean coplanarios. (1 punto) b) Obtener la ecuación general del plano ACDACD. (0,5 puntos) c) Para m=2m=2, calcular un vector perpendicular al plano ABCABC de módulo 4 y calcular el área del triángulo ABCABC. (1 punto)
a
Calcular mm para que los 4 puntos sean coplanarios.1 pt
b
Obtener la ecuación general del plano ACDACD.0,5 pts
c
Para m=2m=2, calcular un vector perpendicular al plano ABCABC de módulo 4 y calcular el área del triángulo ABCABC.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque 4
Se sabe que la altura de los estudiantes de segundo de bachillerato de una cierta población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 174 cm y desviación típica 12 cm. a) Calcular el porcentaje de estudiantes cuya altura está entre 162 cm y 186 cm. (1 punto) b) ¿Qué altura tendrá un alumno si el 67% de los estudiantes miden más que él? (1 punto) c) Si tomamos una muestra de 1000 estudiantes de esa población ¿cuántos tendrán una altura superior a 170 cm? (0,5 puntos)
a
Calcular el porcentaje de estudiantes cuya altura está entre 162 cm y 186 cm.1 pt
b
¿Qué altura tendrá un alumno si el 67% de los estudiantes miden más que él?1 pt
c
Si tomamos una muestra de 1000 estudiantes de esa población ¿cuántos tendrán una altura superior a 170 cm?0,5 pts
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