Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2011

Matemáticas II · Andalucía 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=ax3+bx2+cxf(x) = ax^3 + bx^2 + cx, determina aa, bb y cc sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en (1,0)(1,0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y=−3x+3y = -3x + 3.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} y g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R} las funciones definidas por:f(x)=4−3∣x∣yg(x)=x2f(x) = 4 - 3|x| \qquad \text{y} \qquad g(x) = x^2
a
Esboza las gráficas de ff y gg. Determina sus puntos de corte.1 pt
b
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ff y gg.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean AA y BB dos matrices que verifican:A+B=(4232)yA−B=(24−12)A + B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad A - B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a
Halla las matrices (A+B)(A−B)(A + B)(A - B) y A2−B2A^2 - B^2.1 pt
b
Resuelve la ecuación matricial XA−XB−(A+B)t=2IXA - XB - (A + B)^t = 2I, siendo II la matriz identidad de orden 22 y (A+B)t(A + B)^t la matriz traspuesta de A+BA + B.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea el punto P(2,3,−1)P(2, 3, -1) y la recta rr dada por las ecuaciones {x=1y=−2λz=λ\begin{cases} x = 1 \\ y = -2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}
a
Halla la ecuación del plano perpendicular a rr que pasa por PP.1 pt
b
Calcula la distancia del punto PP a la recta rr y determina el punto simétrico de PP respecto de rr.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y=−x2+3y = -x^2 + 3. Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula:∫0π2xcos⁡(x) dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(x) \, dx
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la matrizA=(30λ−5λ−5λ03)A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & \lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix}
a
Determina los valores de λ\lambda para los que la matriz A−2IA - 2I tiene inversa, siendo II la matriz identidad de orden 3.1 pt
b
Para λ=−2\lambda = -2, resuelve la ecuación matricial AX=2X+IAX = 2X + I.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera los planos π1\pi_1 y π2\pi_2 dados respectivamente por las ecuaciones(x,y,z)=(−2,0,7)+λ(1,−2,0)+μ(0,1,−1)y2x+y−z+5=0(x, y, z) = (-2, 0, 7) + \lambda(1, -2, 0) + \mu(0, 1, -1) \quad \text{y} \quad 2x + y - z + 5 = 0Determina los puntos de la recta rr definida por x=y+1=z−1−3x = y + 1 = \frac{z - 1}{-3} que equidistan de π1\pi_1 y π2\pi_2.
Ver este ejercicio