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la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2020

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Consideremos la función f(x)=ln⁡xx2f(x) = \frac{\ln x}{x^2}, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:
a)
Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función f(x)f(x).
b)
Calcule el valor de la integral: ∫1ef(x)dx\int_{1}^{e} f(x) dx
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Sean las funciones f(x)=2x4+ax2+bf(x) = 2x^4 + ax^2 + b y g(x)=−2x3+cg(x) = -2x^3 + c.
a)
Calcule los valores aa, bb y cc de manera que las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x) cumplan las dos condiciones siguientes: - Se corten en el punto P(1,1)P(1, 1) - En dicho punto coincida la pendiente de las rectas tangentes. Dar las expresiones de las funciones resultantes.
b)
Suponiendo a=b=1a = b = 1 en f(x)f(x), halle las asíntotas de la función: h(x)=f(x)x3−1h(x) = \frac{f(x)}{x^3 - 1}
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Dada la matriz A=(k0k−1010k−10k)A = \begin{pmatrix} k & 0 & k-1 \\ 0 & 1 & 0 \\ k-1 & 0 & k \end{pmatrix}
a)
Halle los valores del parámetro kk para los que la matriz AA tiene inversa.
b)
Tomando el valor k=−1k = -1 en la matriz AA, calcule la matriz XX que verifica que: A⋅X=24⋅I3A \cdot X = 24 \cdot I_3, siendo I3I_3 la matriz identidad de orden 3.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Una pequeña bombonería tiene en su almacén 24 kg de chocolate y 60 litros de leche, con los que elabora tres productos distintos: cajas de bombones, tabletas de chocolate y paquetes de chocolate en polvo. Del resto de los ingredientes se tienen reservas suficientes. Se sabe que las cajas de bombones requieren 2 kg de chocolate y 6 litros de leche, las tabletas de chocolate requieren 4 kg de chocolate y 4 litros de leche, y cada paquete de chocolate en polvo requiere 1 kg de chocolate y 4 litros de leche. Se quiere fabricar un total de 12 unidades y con ello se consume todo el chocolate y toda la leche almacenados. ¿Cuántas unidades deben fabricarse de cada tipo de producto?
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Sean las rectas r:{x+y−z=4x+2y=7r : \begin{cases} x + y - z = 4 \\ x + 2y = 7 \end{cases} y s:{x=2y+5=0s : \begin{cases} x = 2 \\ y + 5 = 0 \end{cases}
a)
Estudie la posición relativa de rr y ss.
b)
Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta rr, y que contiene el punto P(11,−2,5)P(11, -2, 5)
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Consideremos la recta r:{2x−y=53x−4z=−1r: \begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x - 4z = -1 \end{cases} y el plano π1≡x−y+3z=12\pi_1 \equiv x - y + 3z = 12
a)
Calcule la ecuación del plano π2\pi_2 que contiene a la recta rr y es perpendicular al plano π1\pi_1.
b)
Sabiendo que la recta rr corta el plano π1\pi_1, averigüe el punto de intersección.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras de chorro de tinta viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación típica de 200 horas.
a)
¿Qué porcentaje de esas impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento?
b)
¿Qué porcentaje de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Se sabe que el 8% de los análisis de comprobación del níquel en una aleación de acero son erróneos. Se realizan 10 análisis.
a)
Se afirma que la probabilidad de que 3 o más análisis sean erróneos es menor que el 3%. Justifique si es cierto.
b)
Se afirma que la probabilidad de obtener exactamente 3 análisis erróneos es menor que el 3%. Justifique si es cierto.
c)
Si se realizan 100 análisis, justifique si el número esperado de análisis correctos es igual a 8.
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