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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2015

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. • El examen consta de cinco ejercicios. • Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. • Se podrán utilizar calculadoras no programables.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Se sabe que ∣abcpqrxyz∣=10\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = 10. Calcular de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor de los siguientes determinantes:A=∣2a2b2ca+pb+qc+r−x+a−y+b−z+c∣A = \begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c \\ a + p & b + q & c + r \\ -x + a & -y + b & -z + c \end{vmatrix}B=∣3p3q3r2a2b2c−x−y−z∣B = \begin{vmatrix} 3p & 3q & 3r \\ 2a & 2b & 2c \\ -x & -y & -z \end{vmatrix}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(−1,2,3)P(-1, 2, 3) y es paralelo a los vectores a⃗(−1,−2,−3)\vec{a}(-1, -2, -3) y b⃗(1,3,5)\vec{b}(1, 3, 5).1 pt
b
Calcular el valor de mm para que el plano calculado en el apartado anterior y el plano mx−y+5z=8mx - y + 5z = 8 sean perpendiculares.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dado el polinomio P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c:
a
Determinar los coeficientes aa, bb y cc sabiendo que tiene extremos relativos en x=−1x = -1 y en x=1x = 1 y que además pasa por el origen de coordenadas.1 pt
b
Estudiar la naturaleza de ambos extremos relativos (si son máximos o mínimos) y realizar un dibujo aproximado del polinomio.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dibujar la región encerrada entre las parábolas f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1 y g(x)=−x2+5g(x) = -x^2 + 5 y calcular el área de dicho recinto.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
¿Con los dígitos 2 y 3 cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar?
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales{x+y−z=−43x+ay+z=a−12x+ay=−2\begin{cases} x + y - z = -4 \\ 3x + ay + z = a - 1 \\ 2x + ay = -2 \end{cases}
a
Discutir el sistema según los valores del parámetro aa.0,75 pts
b
Resolver el sistema en el caso o casos de indeterminación.0,75 pts
c
¿Existe algún valor de aa tal que el sistema no tenga solución? Razona la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Encontrar la recta que tiene como vector director el vector v⃗(1,2,3)\vec{v}(1, 2, 3) y pasa por el punto P′P', siendo P′P' el punto simétrico del punto P(0,−2,0)P(0, -2, 0) respecto al plano π:x+3y+z=5\pi: x + 3y + z = 5.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea f(x)=(3x−2x2)exf(x) = (3x - 2x^2)e^x:
a
Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff.1,25 pts
b
Calcula los extremos relativos de ff (máximos y mínimos).0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular el valor de la siguiente integral definida:∫1ex2ln⁡(x) dx\int_{1}^{e} x^2 \ln(x) \, dx
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Escribimos en orden creciente 250 múltiplos seguidos del 5 comenzando por el 50. Ahora suprimimos los 90 primeros números ¿Cuánto vale la suma de los restantes números?
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