Matemáticas II · País Vasco 2015

Se sabe que $\begin{vmatrix} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{vmatrix} = 10$. Calcular de manera razonada, aplicando las propiedades adecuadas, el valor de los siguientes determinantes: $$A = \begin{vmatrix} 2a & 2b & 2c \\ a + p & b + q & c + r \\ -x + a & -y + b & -z + c \end{vmatrix}$$ $$B = \begin{vmatrix} 3p & 3q & 3r \\ 2a & 2b & 2c \\ -x & -y & -z \end{vmatrix}$$

Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} x + y - z = -4 \\ 3x + ay + z = a - 1 \\ 2x + ay = -2 \end{cases}$$

Encontrar la recta que tiene como vector director el vector $\vec{v}(1, 2, 3)$ y pasa por el punto $P'$, siendo $P'$ el punto simétrico del punto $P(0, -2, 0)$ respecto al plano $\pi: x + 3y + z = 5$.

Dado el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$:

Sea $f(x) = (3x - 2x^2)e^x$:

Dibujar la región encerrada entre las parábolas $f(x) = x^2 - 2x + 1$ y $g(x) = -x^2 + 5$ y calcular el área de dicho recinto.

Calcular el valor de la siguiente integral definida: $$\int_{1}^{e} x^2 \ln(x) \, dx$$

¿Con los dígitos 2 y 3 cuántos números distintos de 5 cifras se pueden formar?

Escribimos en orden creciente 250 múltiplos seguidos del 5 comenzando por el 50. Ahora suprimimos los 90 primeros números ¿Cuánto vale la suma de los restantes números?