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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2021

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger libremente cinco ejercicios completos de los diez propuestos. Se expresará claramente cuales son los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas).

Ejercicio 1

1
2 puntos
a) Discutir según los valores del parámetro λ\lambda el sistema de ecuaciones lineales siguiente:{x+y+z=0x−λy=12x+λz=1\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - \lambda y = 1 \\ 2x + \lambda z = 1 \end{cases}b) Resolverlo para λ=1\lambda = 1.
a
Discutir según los valores del parámetro λ\lambda el sistema de ecuaciones lineales siguiente:{x+y+z=0x−λy=12x+λz=1\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - \lambda y = 1 \\ 2x + \lambda z = 1 \end{cases}1,2 pts
b
Resolverlo para λ=1\lambda = 1.0,8 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dadas las matrices M=(01−11)M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} y N=(−1002)N = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, hallar la matriz PP que verifica que M−1PM=NM^{-1} P M = N.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dadas las rectas r≡x=y+1=z−22r \equiv x = y + 1 = \frac{z - 2}{2} y s≡{2x−z+3=0x−y+3=0s \equiv \begin{cases} 2x - z + 3 = 0 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases}, se pide:
a
Determinar la posición relativa de rr y ss.1 pt
b
Hallar la ecuación del plano que contiene a rr y ss.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la recta r≡x−1=y−2−1=z−12r \equiv x - 1 = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{2}
a
Calcular el plano π1\pi_1 que pasa por A=(1,2,3)A = (1, 2, 3) y es perpendicular a la recta rr.0,5 pts
b
Calcular el plano π2\pi_2 que pasa por B=(−1,1,−1)B = (-1, 1, -1) y contiene a la recta rr.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Dada la función f(x)=x5−5x−1f(x) = x^5 - 5x - 1, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Calcular el valor de m>0m > 0 para el cual se verifica que lim⁡x→01−cos⁡(mx)x2=2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(mx)}{x^2} = 2.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
a
Estudiar la continuidad de la función definida por f(x)={1−cos⁡xxsi sen⁡x≠00si sen⁡x=0f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos x}{x} & \text{si } \sen x \neq 0 \\ 0 & \text{si } \sen x = 0 \end{cases}.1 pt
b
Calcular ∫xln⁡(x2) dx\int x \ln(x^2) \, dx.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Se considera la función f(x)=x−cos⁡(x)f(x) = x - \cos(x)
a
Demostrar que la ecuación f(x)=0f(x) = 0 tiene al menos una solución en el intervalo [0,π/2][0, \pi/2].1 pt
b
Probar que la ecuación f(x)=0f(x) = 0 solo puede tener una solución en el intervalo [0,π/2][0, \pi/2], de modo que la solución del apartado anterior es la única.1 pt
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Dentro de una caja hay bolas de varios colores que tienen todas el mismo tamaño y aspecto, siendo algunas de madera y las otras de metacrilato. Concretamente: • El 48% son blancas y entre ellas dos tercios son de madera. • El 24% son rojas, y de ellas las tres cuartas partes son de madera. • El 28% son verdes, de las cuales la mitad son de madera. Considerando los sucesos: B="ser blanca"B = \text{"ser blanca"}, R="ser roja"R = \text{"ser roja"}, V="ser verde"V = \text{"ser verde"} y M="ser de madera"M = \text{"ser de madera"}
a
Indicar cuales son los valores de P(M/B)P(M/B), P(M/R)P(M/R) y P(M/V)P(M/V).0,3 pts
b
Calcular la probabilidad de que al sacar al azar una de las bolas de la caja, sea de madera.0,7 pts
c
Si solo sabemos que una de las bolas de la caja, elegida al azar, es de madera, ¿cual es la probabilidad de que sea blanca?1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Se sabe que el coeficiente intelectual de la población adulta española sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20.
Datos
  • F(x)=12π∫−∞xe−12t2 dtF(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2} \, dt
a
¿Qué porcentaje de españoles adultos se espera que tengan un coeficiente intelectual entre 95 y 105?1 pt
b
Si se considera que una persona es superdotada cuando su coeficiente intelectual es mayor que 160, calcular el porcentaje de españoles adultos que son superdotados.1 pt
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