Matemáticas II · Castilla y León 2021

a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - \lambda y = 1 \\ 2x + \lambda z = 1 \end{cases}$$ b) Resolverlo para $\lambda = 1$.

Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, hallar la matriz $P$ que verifica que $M^{-1} P M = N$.

Dadas las rectas $r \equiv x = y + 1 = \frac{z - 2}{2}$ y $s \equiv \begin{cases} 2x - z + 3 = 0 \\ x - y + 3 = 0 \end{cases}$, se pide:

Dada la recta $r \equiv x - 1 = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{2}$

Dada la función $f(x) = x^5 - 5x - 1$, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión.

Calcular el valor de $m > 0$ para el cual se verifica que $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(mx)}{x^2} = 2$.

Se considera la función $f(x) = x - \cos(x)$

Dentro de una caja hay bolas de varios colores que tienen todas el mismo tamaño y aspecto, siendo algunas de madera y las otras de metacrilato. Concretamente: • El 48% son blancas y entre ellas dos tercios son de madera. • El 24% son rojas, y de ellas las tres cuartas partes son de madera. • El 28% son verdes, de las cuales la mitad son de madera. Considerando los sucesos: $B = \text{"ser blanca"}$, $R = \text{"ser roja"}$, $V = \text{"ser verde"}$ y $M = \text{"ser de madera"}$

Se sabe que el coeficiente intelectual de la población adulta española sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20.