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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2011

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Compruebe que si AA es una matriz cuadrada tal que A2=2A−IA^2 = 2A - I donde II es la matriz identidad, entonces AA es invertible. ¿Cuál es la expresión de A−1A^{-1}?6 pts
b
Utilice el apartado a) para calcular la inversa de la matrizA=(5−422−11−44−1)A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \\ -4 & 4 & -1 \end{pmatrix}4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dados el punto A=(1,3,0)A = (1, 3, 0) y el plano π:x+2y+z−1=0\pi: x + 2y + z - 1 = 0.
a
Determine las coordenadas del punto A′A' simétrico del punto AA respecto del plano π\pi.7 pts
b
Calcule la distancia de A′A' al plano π\pi.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considere la función real definida en toda la recta real porf(x)=3x2−1(x2+1)2f(x) = \frac{3x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2}
a
Calcule f′(x)f'(x) y f′′(x)f''(x) y dé los resultados completamente simplificados.7 pts
b
Determine los máximos y mínimos de la función f(x)f(x).3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dada la función f(x)=x3x4+1f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{x^4 + 1}}.
a
Calcule F(x)F(x) tal que F′(x)=f(x)F'(x) = f(x) para todo xx.7 pts
b
Calcule el valor de la integral definida ∫01x3x4+1dx\int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{x^4 + 1}} dx.3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
a
Sin desarrollar el determinante, compruebe que:∣xx+1x+2xx+3x+4xx+5x+6∣=0\begin{vmatrix} x & x + 1 & x + 2 \\ x & x + 3 & x + 4 \\ x & x + 5 & x + 6 \end{vmatrix} = 06 pts
b
Determine el rango del conjunto de vectores {(1,−2,0,−3),(−1,3,1,4),(2,1,5,−1)}\{(1, -2, 0, -3), (-1, 3, 1, 4), (2, 1, 5, -1)\}.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Determine la ecuación del plano π\pi que pasando por los puntos A=(1,0,0)A = (1, 0, 0) y B=(0,2,0)B = (0, 2, 0) corta al eje OZOZ en el punto C=(0,0,c)C = (0, 0, c) con c>0c > 0 tal que el área del triángulo ABCABC vale 6\sqrt{6}.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considere la ecuación x3+λx2−2x=1x^3 + \lambda x^2 - 2x = 1 donde λ\lambda es una constante mayor que 2. Haciendo uso del teorema de Bolzano y el de Rolle, pruebe que la ecuación admite una única solución no negativa y menor que 1.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Sea I=∫0123+xdxI = \int_{0}^{1} \frac{2}{3 + \sqrt{x}} dx.
a
Exprese II aplicando el cambio de variable x=t2x = t^2.4 pts
b
Calcule el valor de II.6 pts
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