Matemáticas II · Cataluña 2011

Dada la recta $r: \begin{cases} 2x - y + 3z = 2 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}$

Calcule el área del recinto limitado por las curvas de ecuación $f(x) = x^2 - x + 2$ y $g(x) = 5 - 3x$.

Si tenemos la matriz invertible $A$ y la ecuación matricial $X \cdot A + B = C$:

Dado el plano $\pi: 2x + y - z = 5$:

Definimos las funciones $f(x) = a(1 - x^2)$ y $g(x) = \frac{x^2 - 1}{a}$ en las que $a > 0$.

La gráfica correspondiente a la derivada de una función $f(x)$ es la siguiente:

Considere el sistema de ecuaciones siguiente: $$\begin{cases} x + 2y - az = -3 \\ 2x + (a - 5)y + z = 4a + 2 \\ 4x + (a - 1)y - 3z = 4 \end{cases}$$

Analice, según los valores del parámetro $k$, el carácter (es decir, si es compatible o no y si es determinado o no) del sistema de ecuaciones siguiente: $$\begin{cases} 2x + y - z = k - 4 \\ (k - 6)y + 3z = 0 \\ (k + 1)x + 2y = 3 \end{cases}$$

Sean $r_1: x - 2 = \frac{y - 3}{2} = \frac{1 - z}{2}$ y $r_2: \frac{x + 3}{2} = y + 1 = \frac{z + 1}{2}$.

Calcule la ecuación general (es decir, de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$) de los planos que contienen la recta $r: \begin{cases} y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ y que forman un ángulo de $45^{\circ}$ con el plano $z = 0$.

Sea $f(x) = x^2 \cdot e^{-ax}$ cuando $a \neq 0$.

Dentro de un triángulo rectángulo, de catetos $3$ y $4$ cm, hay un rectángulo. Dos lados del rectángulo están situados en los catetos del triángulo y uno de los vértices del rectángulo está en la hipotenusa del triángulo.