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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2011

12 ejercicios

Instrucciones

Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué es lo que quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se pueden usar calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Serie 1
Dada la recta r:{2x−y+3z=2x+z+1=0r: \begin{cases} 2x - y + 3z = 2 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}
a
Encuentre un vector director.1 pt
b
Calcule la ecuación continua de la recta paralela a rr que pasa por el punto P=(1,0,−1)P = (1, 0, -1).1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Serie 4
Calcule el área del recinto limitado por las curvas de ecuación f(x)=x2−x+2f(x) = x^2 - x + 2 y g(x)=5−3xg(x) = 5 - 3x.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Serie 1
Si tenemos la matriz invertible AA y la ecuación matricial X⋅A+B=CX \cdot A + B = C:
a
Aísle la matriz XX.1 pt
b
Encuentre la matriz XX cuando A=(1−2−11)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, B=(11−21)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} y C=(311−1)C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Serie 4
Dado el plano π:2x+y−z=5\pi: 2x + y - z = 5:
a
Calcule la ecuación del plano paralelo al plano π\pi que pasa por el punto P=(1,0,−1)P = (1, 0, -1).1 pt
b
Determine también la distancia entre el punto PP y el plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Serie 1
Definimos las funciones f(x)=a(1−x2)f(x) = a(1 - x^2) y g(x)=x2−1ag(x) = \frac{x^2 - 1}{a} en las que a>0a > 0.
a
Compruebe que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones es: 4(1+a2)3a\frac{4(1 + a^2)}{3a}1 pt
b
Calcule el valor del parámetro aa para que esta área sea mínima.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Serie 4
La gráfica correspondiente a la derivada de una función f(x)f(x) es la siguiente:
Gráfica de la función derivada f'(x) con intersecciones en el eje x en -3, 0 y 2.
a
Explique razonadamente qué valores de xx corresponden a máximos o a mínimos relativos de f(x)f(x).1,5 pts
b
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x).0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Serie 1
Considere el sistema de ecuaciones siguiente: {x+2y−az=−32x+(a−5)y+z=4a+24x+(a−1)y−3z=4\begin{cases} x + 2y - az = -3 \\ 2x + (a - 5)y + z = 4a + 2 \\ 4x + (a - 1)y - 3z = 4 \end{cases}
a
Calcule los valores del parámetro aa para que el sistema no sea compatible determinado.1 pt
b
¿Hay algún valor de aa para el cual x=1,y=−3,z=−1x = 1, y = -3, z = -1 sea la única solución del sistema?1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Serie 4
Analice, según los valores del parámetro kk, el carácter (es decir, si es compatible o no y si es determinado o no) del sistema de ecuaciones siguiente: {2x+y−z=k−4(k−6)y+3z=0(k+1)x+2y=3\begin{cases} 2x + y - z = k - 4 \\ (k - 6)y + 3z = 0 \\ (k + 1)x + 2y = 3 \end{cases}
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Serie 1
Sean r1:x−2=y−32=1−z2r_1: x - 2 = \frac{y - 3}{2} = \frac{1 - z}{2} y r2:x+32=y+1=z+12r_2: \frac{x + 3}{2} = y + 1 = \frac{z + 1}{2}.
a
Compruebe que r1r_1 y r2r_2 son perpendiculares.1 pt
b
Compruebe que se cortan mediante la determinación del punto de corte.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Serie 4
Calcule la ecuación general (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) de los planos que contienen la recta r:{y=2z=1r: \begin{cases} y = 2 \\ z = 1 \end{cases} y que forman un ángulo de 45∘45^{\circ} con el plano z=0z = 0.
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Serie 1
Sea f(x)=x2⋅e−axf(x) = x^2 \cdot e^{-ax} cuando a≠0a \neq 0.
a
Calcule el valor de aa para que esta función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
b
Cuando a=2a = 2, clasifique sus extremos relativos.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Serie 4
Dentro de un triángulo rectángulo, de catetos 33 y 44 cm, hay un rectángulo. Dos lados del rectángulo están situados en los catetos del triángulo y uno de los vértices del rectángulo está en la hipotenusa del triángulo.
a
Haga un esbozo de la situación descrita.0,5 pts
b
Si xx es la longitud del lado del rectángulo que está situado en el cateto pequeño e yy es el otro lado del rectángulo, compruebe que se cumple que 4x+3y=124x + 3y = 12.0,5 pts
c
Determine las dimensiones del rectángulo para que el área sea máxima.1 pt
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