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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2004Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2004

10 ejercicios

Instrucciones

En la primera parte todos los alumnos deben responder a tres preguntas. Una sola pregunta de cada uno de los tres bloques temáticos: Álgebra Lineal, Geometría y Análisis. La puntuación máxima de cada pregunta es 2,5 puntos. Solamente se puntuará la primera pregunta respondida de cada uno de los cuatro bloques temáticos. No se puntuarán respuestas (Sí o No) que no vengan acompañadas de una justificación. Por cada error cometido en cálculos (que no sean errores conceptuales) se descontará 0,1. Entendiendo que si ese valor errado se emplea después en el mismo ejercicio y conlleva un resultado (aunque erróneo) consecuente con esa cuenta, no se penalizará el resultado final.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Primeira parteÁlgebra lineal

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

Halle tres números sabiendo que el primero menos el segundo es igual a un quinto del tercero, si al doble del primero le restamos seis resulta la suma del segundo y el tercero y, además, el triple del segundo menos el doble del tercero es igual al primero menos ocho.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Primeira parteÁlgebra lineal

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

Demuestre que toda matriz cuadrada 3-dimensional se puede escribir como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Primeira parteGeometría

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

a
Distancia entre dos rectas que se cruzan.1 pt
b
Halle la distancia entre las rectas rr y ss de ecuaciones:r:{x=αy=−1z=1−αs:{x=1+βy=2z=2βr: \begin{cases} x = \alpha \\ y = -1 \\ z = 1 - \alpha \end{cases} \quad s: \begin{cases} x = 1 + \beta \\ y = 2 \\ z = 2 \beta \end{cases}1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Primeira parteGeometría

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

a
Ángulo que forman dos rectas. Condición de perpendicularidad.1 pt
b
Determine el ángulo que forman la recta que pasa por los puntos A=(1,0,−1)A = (1, 0, -1) y B=(0,1,−2)B = (0, 1, -2) y la recta de ecuación: x=y−12=z−2−1x = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{-1}.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Primeira parteAnálisis

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

Un barco BB y dos ciudades AA y CC de la costa forman un triángulo rectángulo en CC. Las distancias del barco a las ciudades AA y CC son 13 km13\,\text{km} y 5 km5\,\text{km}, respectivamente. Un hombre situado en AA desea llegar hasta el barco BB. Sabiendo que puede nadar a 3 km/h3\,\text{km/h} y caminar a 5 km/h5\,\text{km/h}, ¿a qué distancia de AA debe abandonar la costa para nadar hasta BB si quiere llegar lo antes posible?
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Primeira parteAnálisis

Responda a una de las dos preguntas del bloque.

Demuestre que la función ff dada por f(x)=4x2+x−2f(x) = \frac{4}{x^2 + x - 2} es estrictamente positiva en (2,+∞)(2, +\infty) y halle el área de la región determinada por la gráfica de ff, el eje de abscisas y las rectas x=2x = 2 y x=3x = 3.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Segunda parteBloque 4.a

Responderán a una de las dos preguntas de este bloque solo aquellos alumnos que aprobaron Matemáticas II durante el actual curso académico 2003/2004.

a
Escriba los distintos casos de indeterminaciones que pueden surgir al calcular límites de sucesiones de números reales y ponga un ejemplo sencillo (sin resolverlo) de, al menos, cuatro de esos casos.1 pt
b
Calcule lim⁡n→∞(n+7−n)3n+5\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 7} - \sqrt{n}) \sqrt{3n + 5} indicando qué tipo de indeterminación (o indeterminaciones) se presentan al intentar resolver este límite.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Segunda parteBloque 4.a

Responderán a una de las dos preguntas de este bloque solo aquellos alumnos que aprobaron Matemáticas II durante el actual curso académico 2003/2004.

a
Explique BREVEMENTE (en no más de cinco líneas) cómo se aplica el método de Gauss para calcular el rango de una matriz.1 pt
b
Determine, empleando el método de Gauss, el rango de la matriz (2−107101332771111)\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 7 & 7 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 9

9
2,5 puntos
Segunda parteBloque 4.b

Responderán a una de las dos preguntas de este bloque solo aquellos alumnos que aprobaron Matemáticas II durante el curso académico 2002/2003 o anteriores.

a
Definición de función de densidad. Propiedades de la función de densidad.0,75 pts
b
Obtenga la función de distribución de la variable aleatoria continua que tiene por función de densidad: f(x)={12+βxsi 1≤x<50en otro caso,(β∈R)f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} + \beta x & \text{si } 1 \leq x < 5 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}, \quad (\beta \in \mathbb{R})1,75 pts
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Ejercicio 10

10
2,5 puntos
Segunda parteBloque 4.b

Responderán a una de las dos preguntas de este bloque solo aquellos alumnos que aprobaron Matemáticas II durante el curso académico 2002/2003 o anteriores.

a
Defina media y varianza de una variable aleatoria binomial.1 pt
b
Se lanza una moneda ocho veces y anotamos el resultado. Se repite el proceso ochenta veces (es decir, se realizan ochenta series de ocho tiradas cada una). ¿En cuántos casos cabe esperar que obtengamos seis cruces y dos caras?1,5 pts
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