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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2013

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la funciónf(x)={ex−e−xax,si x<0(2x+72x+1)x,si x≥0f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - e^{-x}}{ax}, & \text{si } x < 0 \\ \left(\frac{2x + 7}{2x + 1}\right)^x, & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Calcula el valor de a∈R,a>0a \in \mathbb{R}, a > 0, para que la función sea continua en x=0x = 0.1,25 pts
b
Calcula el límitelim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) 1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula las siguientes integrales:∫1+x+xx2dx,∫exe2x−3ex+2dx\int \frac{1 + x + \sqrt{x}}{x^2} dx, \quad \int \frac{e^x}{e^{2x} - 3e^x + 2} dx
Datos
  • El cambio de variable t=ext = e^x puede ayudarte a calcular la segunda integral
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices cuadradas de orden 3:A=(300230123)yB=(01020−20−13)A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}
a
Despeja XX en la ecuación matricial X⋅A−B=2XX \cdot A - B = 2X, donde AA, BB y XX son matrices cuadradas de orden 3.1,25 pts
b
Calcula XX.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere las rectasr≡{x−2z=1y−z=2ys≡{x+y+z=1x−2y+2z=ar \equiv \begin{cases} x - 2z = 1 \\ y - z = 2 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - 2y + 2z = a \end{cases}
a
Estudia la posición relativa de las rectas en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.2 pts
b
Encuentra el punto de corte de las rectas en el caso en que sean secantes.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.1 pt
b
Halla el punto de la gráfica de la función f(x)=x3+3x2+1f(x) = x^3 + 3x^2 + 1 donde la recta tangente tiene pendiente mínima.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Esboza la región encerrada entre las gráficas de las funciones f(x)=1/xf(x) = 1/x y g(x)=−2x+3g(x) = -2x + 3.0,5 pts
b
Calcula el área de la región anterior.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{x+y−5z=−12x−y−3z=1−mx−2y+2z=m\begin{cases} x + y - 5z = -1 \\ 2x - y - 3z = 1 - m \\ x - 2y + 2z = m \end{cases}
a
Discute el sistema en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}.1,5 pts
b
Calcula la solución cuando el sistema sea compatible indeterminado.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Dados los puntos P(4,2,3)P(4, 2, 3) y Q(2,0,−5)Q(2, 0, -5), da la ecuación implícita del plano π\pi de modo que el punto simétrico de PP respecto a π\pi es QQ.1,25 pts
b
Calcula el valor del parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R} para que el plano determinado por los puntos P,QP, Q y R(λ,1,0)R(\lambda, 1, 0) pase por el origen de coordenadas.1,25 pts
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