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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2010

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. El/la alumno/a debe responder solo los ejercicios de una de las dos opciones (A o B). La puntuación máxima de los ejercicios en cada opción es: 3 puntos el ejercicio 1, 3 puntos el ejercicio 2, 2 puntos el ejercicio 3 y 2 puntos el ejercicio 4.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la ecuación matricial A⋅X+At=X+BA \cdot X + A^t = X + B, siendo AtA^t la matriz traspuesta de AA, A=(2−102)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} y B=(3123)B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}
a
Despejar la matriz XX. Calcular la matriz inversa de (A−I2)(A - I_2), siendo I2I_2 la matriz identidad de orden 2.
b
Resolver la ecuación matricial.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
La función C(t)=−t3+9t2−15t+50C(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 50, 0≤t≤60 \leq t \leq 6, se ajusta a la cotización en euros de cierta moneda en los últimos seis años (C(t)C(t) indica la cotización en el tiempo tt medido en años).
a
Encuentra los intervalos de tiempo en los que la cotización creció y en los que decreció.
b
¿En qué momentos hubo una cotización más baja y más alta? ¿cuáles fueron esas cotizaciones?
c
¿Tiene C(t)C(t) algún punto de inflexión? En caso afirmativo, calcúlalo y traza la gráfica de la función en el intervalo dado de tiempo.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se realiza un estudio para determinar si los hogares de una pequeña ciudad se suscribirían a un servicio de televisión por cable. Los hogares se clasifican de acuerdo a su nivel de renta: alta, media o baja. La siguiente tabla nos muestra las probabilidades de las distintas intersecciones:
Renta bajaRenta mediaRenta alta
Se suscribirían0,050,150,10
No se suscribirían0,150,470,08
a
Si el hogar suscribe el servicio, ¿cuál es la probabilidad de que sea de renta alta?
b
¿Son renta y posible suscripción a la televisión por cable independientes? Justificar la respuesta.
c
Calcula la probabilidad de que un hogar seleccionado al azar pertenezca al menos a una de estas categorías: "renta media" o "desean suscribirse".
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Un equipo de la guardia civil de tráfico hace controles de velocidad en una travesía de una determinada población. Se sabe que la variable velocidad en travesía (en km/h) sigue una distribución normal con media μ\mu y desviación típica σ\sigma.
a
Tras controlar el paso por la travesía de 100 vehículos, nos dicen que: "la velocidad media en travesía, μ\mu, toma valores entre 56,0856{,}08 km/h y 63,9263{,}92 km/h, con el 95% de confianza". Con esta información calcula σ\sigma y el valor de la media de la muestra Xˉ\bar{X}.
b
Si tomamos como μ=60\mu = 60 km/h y con el valor de σ=20\sigma = 20 km/h, calcula el porcentaje de muestras de 64 vehículos cuya velocidad media supere los 65 km/h.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Una pequeña empresa desea contratar trabajadores de dos categorías laborales: I y II. Pretende que el número total de trabajadores contratados no sea inferior a 9 ni superior a 12 y, además, el número de trabajadores de la categoría I no podrá ser inferior al doble de trabajadores de la categoría II. El coste laboral de un trabajador de la categoría I está estimado en 1400 euros al mes y el de uno de la categoría II en 1100 euros al mes.
a
Formula el sistema de inecuaciones asociado al enunciado. Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.
b
Calcula el número de trabajadores de cada categoría laboral que la empresa debe contratar para minimizar los costes laborales mensuales.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Una fábrica produce diariamente un total de 20 artículos de dos modelos diferentes A y B. El coste de producción diario (en euros) viene dado por C=6x3+450y−2500C = 6x^3 + 450y - 2500, siendo xx el número de modelos del tipo A e yy el número de modelos del tipo B. ¿Cuántos modelos de cada tipo debe producir diariamente para minimizar el coste de producción diario? Calcula ese coste de producción mínimo.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Un estudio estima que, en general, la probabilidad de que una empresa tecnológica no obtenga los beneficios anuales esperados es 0,50{,}5; la probabilidad de que una entidad bancaria no alcance al final del año los beneficios esperados es 0,20{,}2 y la probabilidad de que ambas empresas no obtengan los beneficios anuales esperados es 0,10{,}1.
a
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las dos no obtenga los beneficios anuales esperados?
b
¿Cuál es la probabilidad de que solamente una de las dos no obtenga los beneficios anuales esperados?
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Si los salarios anuales de los trabajadores de cierta empresa se distribuyen según una N(μ,σ=1200)N(\mu, \sigma = 1200), calcula un intervalo del 95% de confianza para el salario medio anual de los trabajadores de la empresa, si para ello se seleccionan al azar 64 trabajadores y se obtiene que su salario medio anual es 26000 euros.
b
¿Qué tamaño de muestra se necesita para garantizar, con un 97% de confianza, una estimación del salario medio anual de los trabajadores de la empresa, con un error no superior a 200 euros?
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