Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2021

Calcula razonadamente la matriz inversa de A.

Calcula razonadamente la matriz X de la ecuación matricial $AX + 3I = A$

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$ $$\begin{cases} x + ay + z = 2 \\ x + z = a \\ ax + 2y + z = 3 \end{cases}$$

Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.

Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int x \cdot \cos(3x) \, dx$.

Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \frac{dx}{2x^2 + 1}$

Determina razonadamente el valor de $a$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares.

Para $a = 1$ calcula la distancia del punto $P(2, 0, 1)$ al plano $\pi_1$

Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{e^{x - 1} - 1}$

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{x - 1} & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ x & \text{si } x > 2 \end{cases},$$ estudia su continuidad en $x = 0$ y en $x = 2$ e indica el tipo de discontinuidad, si la hubiera.

Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifícalos.

Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Sea la función $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + x - 1$, con $a, b \in \mathbb{R}$. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(1, 1)$ y tenga aquí un punto de inflexión.

Sea la función $f(x) = x \sen(x) - \cos(x)$. Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función $f(x)$ tiene al menos un extremo relativo en el intervalo $[-1, 1]$.

En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El $20\%$ de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el $60\%$ de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un $90\%$ de pacientes leves y un $10\%$ de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar:

En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias.