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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla binomial como anexo. Instrucciones: El estudiante deberá resolver CUATRO de los ocho ejercicios propuestos. Si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matricesA=(312101011)eI=(100010001). A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcula razonadamente la matriz inversa de A.1 pt
b
Calcula razonadamente la matriz X de la ecuación matricial AX+3I=AAX + 3I = A1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}{x+ay+z=2x+z=aax+2y+z=3 \begin{cases} x + ay + z = 2 \\ x + z = a \\ ax + 2y + z = 3 \end{cases} 1,75 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema anterior para a=2a = 2, si es posible.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calcula razonadamente la siguiente integral: ∫x⋅cos⁡(3x) dx\int x \cdot \cos(3x) \, dx.1,25 pts
b
Calcula razonadamente la siguiente integral: ∫dx2x2+1\int \frac{dx}{2x^2 + 1}1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean los planos π1≡a⋅x+y+2⋅z=3\pi_1 \equiv a \cdot x + y + 2 \cdot z = 3 y π2≡2⋅x−y+a⋅z=0\pi_2 \equiv 2 \cdot x - y + a \cdot z = 0.
a
Determina razonadamente el valor de aa para que los planos π1\pi_1 y π2\pi_2 sean perpendiculares.1 pt
b
Para a=1a = 1 calcula la distancia del punto P(2,0,1)P(2, 0, 1) al plano π1\pi_11,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Calcula razonadamente el siguiente límite: lim⁡x→1x−1ex−1−1\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{e^{x - 1} - 1}1 pt
b
Dada la funciónf(x)={exsi x<01x−1si 0≤x≤2xsi x>2, f(x) = \begin{cases} e^x & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{x - 1} & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ x & \text{si } x > 2 \end{cases}, estudia su continuidad en x=0x = 0 y en x=2x = 2 e indica el tipo de discontinuidad, si la hubiera.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Sea la función f(x)=2x2+2x−23x2+3f(x) = \frac{2x^2 + 2x - 2}{3x^2 + 3}
a
Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función f(x)f(x) y clasifícalos.1,5 pts
b
Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
a
Sea la función f(x)=a⋅x3+b⋅x2+x−1f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + x - 1, con a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determina los valores de aa y bb para que la gráfica de f(x)f(x) pase por el punto (1,1)(1, 1) y tenga aquí un punto de inflexión.1 pt
b
Sea la función f(x)=xsen⁡(x)−cos⁡(x)f(x) = x \sen(x) - \cos(x). Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función f(x)f(x) tiene al menos un extremo relativo en el intervalo [−1,1][-1, 1].1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
a
En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El 20%20\% de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el 60%60\% de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un 90%90\% de pacientes leves y un 10%10\% de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar:1,25 pts
a.1
¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?0,5 pts
a.2
Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve?0,75 pts
b
En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias.1,25 pts
b.1
¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves?0,5 pts
b.2
¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves?0,75 pts
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