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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2015

Matemáticas II · Andalucía 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=exx−1f(x) = \frac{e^x}{x - 1} para x≠1x \neq 1.
a
Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de ff.1 pt
b
Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de ff.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=ln⁡(x)2xf(x) = \frac{\ln(x)}{2x} para x>0x > 0 (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano) y sea FF la primitiva de ff tal que F(1)=2F(1) = 2.
a
Calcula F′(e)F'(e).0,5 pts
b
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de FF en el punto de abscisa x=ex = e.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{αx+y+3z=4x+y−2z=−2−x+2y+(3+α)z=4+α\begin{cases} \alpha x + y + 3z = 4 \\ x + y - 2z = -2 \\ -x + 2y + (3 + \alpha)z = 4 + \alpha \end{cases}
a
Determina, si existen, los valores de α\alpha para los que el sistema dado tiene solución única.1,25 pts
b
Determina, si existen, los valores de α\alpha para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Halla unas ecuaciones paramétricas para la recta rr, que contiene al punto P(3,5,4)P(3, 5, 4) y corta perpendicularmente a la recta s≡x−45=y−8−3=z4s \equiv \frac{x - 4}{5} = \frac{y - 8}{-3} = \frac{z}{4}.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Queremos fabricar una caja con base cuadrada, de tal manera que la altura de la caja más el perímetro de la base sumen 6060 cm. Determina sus dimensiones para que contenga el mayor volumen posible.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R} y g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R} las funciones definidas por f(x)=2xf(x) = \sqrt{2x} y g(x)=12x2g(x) = \frac{1}{2}x^2.
a
Halla los puntos de corte de las gráficas de ff y gg. Haz un esbozo del recinto que limitan.0,75 pts
b
Calcula el área de dicho recinto.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(1211)yB=(4−141)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}
a
Halla el determinante de una matriz XX que verifique la igualdad X2AX=BX^2 A X = B.1 pt
b
Determina, si existe, la matriz YY que verifica la igualdad A2YB−1=AA^2 Y B^{-1} = A.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta de ecuación x+23=y+14=z\frac{x + 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = z.
a
Halla el punto de rr que equidista del origen de coordenadas y del punto P(4,−2,2)P(4, -2, 2).1,5 pts
b
Determina el punto de la recta rr más próximo al origen de coordenadas.1 pt
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