Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2012

4 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f(x)=(2x2+3)exf(x) = (2x^2 + 3)e^x.
a
Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión.2 pts
b
Esbozar su gráfica.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcular ∫sen⁡(2x)3+sen⁡2(x)dx\int \frac{\sen(2x)}{3 + \sen^2(x)} dx.1,25 pts
b
Calcular lim⁡x→0ln⁡(1+x)+ln⁡(1−x)xsen⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) + \ln(1 - x)}{x \sen(x)}.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se considera el sistema {x+ay−z=22x+y+az=0x+y−z=a+1\begin{cases} x + ay - z = 2 \\ 2x + y + az = 0 \\ x + y - z = a + 1 \end{cases}, donde aa es un parámetro real. Se pide:
a
Discutir el sistema en función del valor de aa.1,75 pts
b
Hallar la solución del sistema para a=1a = 1, si procede.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados el punto A(1,1,2)A(1, 1, 2) y las rectas r≡x=y+22=z−1r \equiv x = \frac{y + 2}{2} = z - 1 y s≡{x+y=0x+z=2s \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ x + z = 2 \end{cases}, se pide:
a
Hallar la ecuación de la recta que pasa por AA y corta a rr y ss.1,75 pts
b
Hallar la ecuación del plano perpendicular a rr que pasa por AA.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y=x3−6x2+4x+8y = x^3 - 6x^2 + 4x + 8 la recta tangente a la misma es paralela a la recta y=4x+7y = 4x + 7.1 pt
b
Hallar el área de la región comprendida entre las rectas x=1x = 1, x=4x = 4 y que está limitada por dichas rectas, la gráfica de la función f(x)=∣x2−4∣f(x) = |x^2 - 4| y el eje OXOX.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Determinar los extremos absolutos de la función f(x)=x2−4x+4f(x) = x^2 - 4x + 4 en el intervalo [1,4][1, 4].1,25 pts
b
Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función ff dada por f(x)={x−x2si 0≤x≤1ln⁡2(x)x−1si 1<x≤2f(x) = \begin{cases} x - x^2 & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\ln^2(x)}{x - 1} & \text{si } 1 < x \leq 2 \end{cases} en el punto x=1x = 1, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Determinar, en función del valor del parámetro real aa, el rango de la matriz A=(1a−110−13aa)A = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & a & a \end{pmatrix}.1,5 pts
b
Sea CC una matriz 2×22 \times 2 de columnas C1C_1 y C2C_2 y de determinante 55, y sea BB una matriz 2×22 \times 2 de determinante 22. Si DD es la matriz de columnas 4C24C_2 y C1−C2C_1 - C_2, calcular el determinante de la matriz BD−1BD^{-1}.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea ss la recta de ecuaciones paramétricas {x=3+2ty=−1−tz=1\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 1 \end{cases}
a
Hallar la ecuación de la recta rr que pasa por el punto P(0,1,5)P(0, 1, 5) y corta perpendicularmente a la recta ss.1,5 pts
b
Hallar la ecuación del plano que contiene a rr y a ss.1 pt
Ver este ejercicio