Matemáticas II · Castilla y León 2012

Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión.

Esbozar su gráfica.

Determinar en qué puntos de la gráfica de la función $y = x^3 - 6x^2 + 4x + 8$ la recta tangente a la misma es paralela a la recta $y = 4x + 7$.

Hallar el área de la región comprendida entre las rectas $x = 1$, $x = 4$ y que está limitada por dichas rectas, la gráfica de la función $f(x) = |x^2 - 4|$ y el eje $OX$.

Calcular $\int \frac{\sen(2x)}{3 + \sen^2(x)} dx$.

Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) + \ln(1 - x)}{x \sen(x)}$.

Determinar los extremos absolutos de la función $f(x) = x^2 - 4x + 4$ en el intervalo $[1, 4]$.

Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función $f$ dada por $f(x) = \begin{cases} x - x^2 & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{\ln^2(x)}{x - 1} & \text{si } 1 < x \leq 2 \end{cases}$ en el punto $x = 1$, donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano.

Discutir el sistema en función del valor de $a$.

Hallar la solución del sistema para $a = 1$, si procede.

Determinar, en función del valor del parámetro real $a$, el rango de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & a & a \end{pmatrix}$.

Sea $C$ una matriz $2 \times 2$ de columnas $C_1$ y $C_2$ y de determinante $5$, y sea $B$ una matriz $2 \times 2$ de determinante $2$. Si $D$ es la matriz de columnas $4C_2$ y $C_1 - C_2$, calcular el determinante de la matriz $BD^{-1}$.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por $A$ y corta a $r$ y $s$.

Hallar la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por $A$.

Hallar la ecuación de la recta $r$ que pasa por el punto $P(0, 1, 5)$ y corta perpendicularmente a la recta $s$.

Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y a $s$.