Matemáticas II · Extremadura 2022

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Dadas las matrices $$M = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.$$ Calcular la matriz $X$ cuadrada de orden 3 que cumple $M \cdot X - N = 2X$.

Dados el plano $\pi$ de ecuación $x + 2y - z = 0$ y $r$ la recta de ecuaciones $r \equiv \begin{cases} y - 2x = 1 \\ x - z = 0 \end{cases}$

Dada la recta $r$ definida por $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{1}$$

Calcular el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} \frac{x \cdot e^x - \sen x}{x^2} & \text{si} & x \neq 0 \\ a & \text{si} & x = 0 \end{cases}$$ sea continua en $x = 0$.

Dada la función $f(x) = |x + 1| + |x - 2|$.

Determinar la función $f(x)$ tal que su gráfica pase por el origen de coordenadas y su derivada sea $f'(x) = (2x + 1)e^{-x}$.

Calcular el área encerrada por la gráfica de la función $f(x) = \sen(2x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = \pi$.

En un centro educativo han preguntado a sus alumnos acerca de alergias alimentarias, resultando que un $10\%$ es celiaco y un $15\%$ es alérgico a la lactosa. Además el $20\%$ tiene alguna de las dos alergias. Si se elige un alumno al azar, calcular las siguientes probabilidades:

Un examen con opción múltiple está compuesto por 10 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes responde todas las preguntas del examen al azar. Calcular la probabilidad de que conteste bien