Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2022

10 ejercicios

Instrucciones

INSTRUCCIONES PARA REALIZAR EL EXAMEN. El examen consta de 10 preguntas, cuyo valor es de 2 puntos cada una. El estudiante ha de elegir 5 preguntas. En ningún caso deberá responder a un número mayor del indicado porque en la corrección del examen sólo se tendrán en cuenta las cinco primeras preguntas respondidas. Se seguirá el orden en el que las respuestas aparezcan desarrolladas por el estudiante. Si se desea que alguna de ellas no sea tenida en cuenta, el estudiante ha de tacharla y dejarlo claramente indicado. En ese caso, además de las cuatro primeras preguntas sin tachar, se corregiría la que ocupe el siguiente lugar. Justificar las respuestas y las soluciones.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean las matrices A=(21a)A = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ a \end{pmatrix}, B=(3−1−4)B = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} y C=(121)C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.
a
Calcular, cuando sea posible, las matrices C⋅BtC \cdot B^t, Bt⋅CB^t \cdot C, B⋅CB \cdot C, donde BtB^t es la matriz traspuesta de BB.0,5 pts
b
Hallar a∈Ra \in \mathbb{R} para que el sistema x⋅A+y⋅B=Cx \cdot A + y \cdot B = C de tres ecuaciones y dos incógnitas xx e yy, sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de aa.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Dadas las matricesM=(300230123)yN=(01020−20−13). M = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad N = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}. Calcular la matriz XX cuadrada de orden 3 que cumple M⋅X−N=2XM \cdot X - N = 2X.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Dados el plano π\pi de ecuación x+2y−z=0x + 2y - z = 0 y rr la recta de ecuaciones r≡{y−2x=1x−z=0r \equiv \begin{cases} y - 2x = 1 \\ x - z = 0 \end{cases}
a
Hallar el punto de intersección del plano π\pi y la recta rr.1 pt
b
Calcular la distancia del origen a la recta rr.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la recta rr definida porx−12=y+13=z−21 \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{1}
a
Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a rr.1 pt
b
Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen y es perpendicular a rr.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2 puntos
Calcular el valor de a∈Ra \in \mathbb{R} para que la funciónf(x)={x⋅ex−sen⁡xx2six≠0asix=0 f(x) = \begin{cases} \frac{x \cdot e^x - \sen x}{x^2} & \text{si} & x \neq 0 \\ a & \text{si} & x = 0 \end{cases} sea continua en x=0x = 0.
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2 puntos
Dada la función f(x)=∣x+1∣+∣x−2∣f(x) = |x + 1| + |x - 2|.
a
Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función.1 pt
b
Calcular el intervalo donde la función permanece constante.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
2 puntos
Determinar la función f(x)f(x) tal que su gráfica pase por el origen de coordenadas y su derivada sea f′(x)=(2x+1)e−xf'(x) = (2x + 1)e^{-x}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
2 puntos
Calcular el área encerrada por la gráfica de la función f(x)=sen⁡(2x)f(x) = \sen(2x), el eje OXOX y las rectas x=0x = 0 y x=πx = \pi.
Ver este ejercicio

Ejercicio 9

9
2 puntos
En un centro educativo han preguntado a sus alumnos acerca de alergias alimentarias, resultando que un 10%10\% es celiaco y un 15%15\% es alérgico a la lactosa. Además el 20%20\% tiene alguna de las dos alergias. Si se elige un alumno al azar, calcular las siguientes probabilidades:
a
tenga solo una de las dos alergias,1 pt
b
sea celiaco si sabemos que no es alérgico a la lactosa.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 10

10
2 puntos
Un examen con opción múltiple está compuesto por 10 preguntas, con cuatro respuestas posibles cada una, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que uno de los estudiantes responde todas las preguntas del examen al azar. Calcular la probabilidad de que conteste bien
a
cinco preguntas,0,75 pts
b
alguna pregunta.0,75 pts
c
Calcular la media y la desviación típica de la distribución.0,5 pts
Ver este ejercicio