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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2017

5 ejercicios

Instrucciones

La prueba consta de dos opciones A y B de las cuales el alumno deberá elegir una. Cada opción consta de 5 ejercicios. En el caso de realizar ejercicios de opciones diferentes, se considerará como elegida la correspondiente al primer ejercicio presentado por el alumno. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Calcule el determinante de la matrizA=(1010−1020−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}0,5 pts
b
Obtenga el determinante de la matriz B=13A4B = \frac{1}{3} A^4 sin calcular previamente B.0,5 pts
c
Calcule la matriz inversa de A.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere en R3\mathbb{R}^3 las rectas r:{x=0y=0,s:{x+y=1z=0r : \begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} , \quad\allowbreak s : \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}
a
Obtenga un vector director de la recta s.0,5 pts
b
Obtenga el plano Π1\Pi_1 que contiene a r y es paralelo a s.1 pt
c
Obtenga el plano Π2\Pi_2 que contiene a r y es perpendicular a s.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange.0,75 pts
b
Aplicando a la función f(x)=1/x2f(x) = 1/x^2 el anterior teorema, pruebe que cualesquiera que sean los números reales 1<a<b1 < a < b se cumple la desigualdad a+b<2a2b2a + b < 2 a^2 b^2.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcule una primitiva F(x)F(x) de la funciónf(x)=2xx2+1−e−x+2xcos⁡(x2)f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - e^{-x} + 2x \cos(x^2)que cumpla F(0)=0F(0) = 0.
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Ejercicio 5

5
1 punto
En un libro con 3 capítulos, el primero consta de 100 páginas y 15 de ellas contienen errores. El segundo capítulo, de 80 páginas, tiene 8 con error, y en el tercero, de 50 páginas, el 80%80\% no tiene ningún error. Calcule la probabilidad de que una página elegida al azar no esté en el capítulo dos y no tenga errores.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el sistema de ecuaciones{x+y=0x−z=1ax+by+cz=1\begin{cases} x + y = 0 \\ x - z = 1 \\ ax + by + cz = 1 \end{cases}Obtenga valores de los parámetros a, b y c en los siguientes casos:
a
Para que el sistema sea compatible determinado.0,75 pts
b
Para que el sistema sea compatible indeterminado.1 pt
c
Para que el sistema sea incompatible.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere en R3\mathbb{R}^3 los puntos A=(1,2,1)A = (1, 2, 1), B=(−2,−1,−3)B = (-2, -1, -3), C=(0,1,−1)C = (0, 1, -1) y D=(0,3,−1)D = (0, 3, -1), y sea r la recta que pasa por A y B.
a
Calcule ecuaciones paramétricas de r.1 pt
b
Obtenga un punto P de la recta r tal que la distancia de C a P sea igual a la distancia de D a P.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Estudie el dominio, el signo, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de la funciónf(x)=2x+1x2+xf(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x}
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Represente, aproximadamente, la gráfica de la función f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 definida en el intervalo cerrado [0,2][0, 2].0,5 pts
b
Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1, el eje OX y las rectas x=0x = 0, x=2x = 2.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
1 punto
El 40%40\% de la población activa de una ciudad son mujeres. Se sabe que el 20%20\% de las mujeres y el 12%12\% de los varones está en el paro. Elegida al azar una persona entre la población activa que no está en paro, calcule la probabilidad de que dicha persona sea mujer.
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