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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2017

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones {2x+ay+z=ax−4y+(a+1)z=14y−az=0\begin{cases} 2x + ay + z = a \\ x - 4y + (a + 1)z = 1 \\ 4y - az = 0 \end{cases}, se pide:
a)2 pts
Discutirlo en función de los valores del parámetro real aa.
b)0,5 pts
Resolver el sistema para a=1a = 1.
c)0,5 pts
Resolver el sistema para a=2a = 2.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} y g(x)=sen⁡(x)g(x) = \sen(x), se pide:
a)1 pts
Calcular lim⁡x→0(f(x)−2g(x))\lim_{x \to 0} \left( f(x) - \frac{2}{g(x)} \right)
b)0,75 pts
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto (12,4)(\frac{1}{2}, 4).
c)1,25 pts
Calcular el área delimitada por la curva y=f(x)y = f(x) y la recta y=−x+3y = -x + 3.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
Dados los puntos P(1,−2,1)P(1, -2, 1), Q(−4,0,1)Q(-4, 0, 1), R(−3,1,2)R(-3, 1, 2), S(0,−3,0)S(0, -3, 0), se pide:
a)1 pts
Hallar la ecuación del plano que contiene a PP, QQ y RR.
b)1 pts
Estudiar la posición relativa de la recta rr, que pasa por los puntos PP y QQ, y la recta ss, que pasa por RR y SS.
c)1 pts
Hallar el área del triángulo formado por los puntos PP, QQ y RR.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
Dadas las matrices P=(121322232),J=(−100020001), P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}, J = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, se pide:
a)1 pts
Determinar la matriz P−1P^{-1}, inversa de la matriz PP.
b)1 pts
Determinar la matriz B−1B^{-1}, inversa de la matriz B=P−1J−1B = P^{-1} J^{-1}.
c)1 pts
Calcular el determinante de la matriz A2A^2, siendo A=PJP−1A = P J P^{-1}.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Se administra una medicina a un enfermo y tt horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por c(t)=te−t/2c(t) = t e^{-t/2} miligramos por mililitro. Determine el valor máximo de c(t)c(t) e indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml1\,\text{mg/ml}, señale si en algún momento hay riesgo para el paciente.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
a)1 pts
Determine la distancia entre las rectas r1≡x=y=zyr2≡{x+y−1=0x−z+1=0 r_1 \equiv x = y = z \qquad \text{y} \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x - z + 1 = 0 \end{cases}
b)1 pts
Obtenga el punto de corte de la recta s≡x=2−y=z−1s \equiv x = 2 - y = z - 1 con el plano perpendicular a ss, que pasa por el origen.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Dada la función f(x)=x2+x+6x−2f(x) = \frac{x^2 + x + 6}{x - 2}, se pide:
a)0,5 pts
Determinar su dominio y asíntotas verticales.
b)0,5 pts
Calcular lim⁡x→∞f(x)x\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}
c)1 pts
Calcular ∫35f(x)dx\int_{3}^{5} f(x) dx.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
El 40% de los sábados Marta va al cine, el 30% va de compras y el 30% restante juega a videojuegos. Cuando va al cine, el 60% de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo le ocurre el 20% de las veces que va de compras, y el 80% de las veces que juega a videojuegos. Se pide:
a)1 pts
Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto.
b)1 pts
Si se sabe que Marta ha quedado con los compañeros de baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que vayan al cine?
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