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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Despues de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: Las preguntas 1a1^{\mathsf{a}} y 2a2^{\mathsf{a}} se valorarán sobre 3 puntos, la 3a3^{\text{a}} y la 4a4^{\text{a}} sobre 2 puntos. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones {2x+ay+z=ax−4y+(a+1)z=14y−az=0\begin{cases} 2x + ay + z = a \\ x - 4y + (a + 1)z = 1 \\ 4y - az = 0 \end{cases}, se pide:
a
Discutirlo en función de los valores del parámetro real aa.2 pts
b
Resolver el sistema para a=1a = 1.0,5 pts
c
Resolver el sistema para a=2a = 2.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados los puntos P(1,−2,1)P(1, -2, 1), Q(−4,0,1)Q(-4, 0, 1), R(−3,1,2)R(-3, 1, 2), S(0,−3,0)S(0, -3, 0), se pide:
a
Hallar la ecuación del plano que contiene a PP, QQ y RR.1 pt
b
Estudiar la posición relativa de la recta rr, que pasa por los puntos PP y QQ, y la recta ss, que pasa por RR y SS.1 pt
c
Hallar el área del triángulo formado por los puntos PP, QQ y RR.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se administra una medicina a un enfermo y tt horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por c(t)=te−t/2c(t) = t e^{-t/2} miligramos por mililitro. Determine el valor máximo de c(t)c(t) e indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml1\,\text{mg/ml}, señale si en algún momento hay riesgo para el paciente.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dada la función f(x)=x2+x+6x−2f(x) = \frac{x^2 + x + 6}{x - 2}, se pide:
a
Determinar su dominio y asíntotas verticales.0,5 pts
b
Calcular lim⁡x→∞f(x)x\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}0,5 pts
c
Calcular ∫35f(x)dx\int_{3}^{5} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dadas las funciones f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} y g(x)=sen⁡(x)g(x) = \sen(x), se pide:
a
Calcular lim⁡x→0(f(x)−2g(x))\lim_{x \to 0} \left( f(x) - \frac{2}{g(x)} \right)1 pt
b
Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto (12,4)(\frac{1}{2}, 4).0,75 pts
c
Calcular el área delimitada por la curva y=f(x)y = f(x) y la recta y=−x+3y = -x + 3.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las matricesP=(121322232),J=(−100020001), P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}, J = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, se pide:
a
Determinar la matriz P−1P^{-1}, inversa de la matriz PP.1 pt
b
Determinar la matriz B−1B^{-1}, inversa de la matriz B=P−1J−1B = P^{-1} J^{-1}.1 pt
c
Calcular el determinante de la matriz A2A^2, siendo A=PJP−1A = P J P^{-1}.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Determine la distancia entre las rectasr1≡x=y=zyr2≡{x+y−1=0x−z+1=0 r_1 \equiv x = y = z \qquad \text{y} \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x - z + 1 = 0 \end{cases} 1 pt
b
Obtenga el punto de corte de la recta s≡x=2−y=z−1s \equiv x = 2 - y = z - 1 con el plano perpendicular a ss, que pasa por el origen.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
El 40% de los sábados Marta va al cine, el 30% va de compras y el 30% restante juega a videojuegos. Cuando va al cine, el 60% de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo le ocurre el 20% de las veces que va de compras, y el 80% de las veces que juega a videojuegos. Se pide:
a
Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto.1 pt
b
Si se sabe que Marta ha quedado con los compañeros de baloncesto, ¿cuál es la probabilidad de que vayan al cine?1 pt
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