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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2013

4 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que trata de resolver. Justificaciones teóricas que aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro mm:{3x−y+mz=0x+y=mmx−3y+mz=−2m\begin{cases} 3x - y + mz = 0 \\ x + y = m \\ mx - 3y + mz = -2m \end{cases}2 pts
b
Resolverlo para m=0m = 0.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean el plano π≡x+y+z=0\pi \equiv x + y + z = 0, la recta r≡x=y=zr \equiv x = y = z y el punto A(3,2,1)A(3,2,1).
a
Hallar la recta que pasa por AA, es paralela a π\pi y corta a rr.1 pt
b
Hallar los puntos de rr que equidistan de AA y de π\pi.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea f(x)=(x+1)e−xf(x) = (x + 1)e^{-x}. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Hallar lim⁡x→+∞xln⁡(x+1)x2+1\lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln(x + 1)}{x^2 + 1}.1,25 pts
b
Calcular ∫x+1+1x+1dx\int \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{x + 1} dx.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la matriz M=(111021−1−2−2)M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}
a
Calcular M−1M^{-1}.1,5 pts
b
Calcular la matriz XX que cumple X⋅M+M=2M2X \cdot M + M = 2M^2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean las rectas r≡x=−y=z−1r \equiv x = -y = z - 1 y s≡x−2=y=z−ms \equiv x - 2 = y = z - m
a
Determinar mm para que las rectas sean coplanarias.1,5 pts
b
Para m=2m = 2, calcular la distancia entre las rectas.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica.1 pt
b
Estudiar la continuidad de la funciónf(x)={e1/xsi x<0,ksi x=0,1−cos⁡(x)sen⁡(x)si x>0,f(x) = \begin{cases} e^{1/x} & \text{si } x < 0, \\ k & \text{si } x = 0, \\ \frac{1 - \cos(x)}{\sen(x)} & \text{si } x > 0, \end{cases}en el intervalo (−π2,π2)\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right), según los valores de kk.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Hallar el dominio de la función f(x)=1x2−x−2f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 2}.1 pt
b
Calcular ∫1x2−x−2dx\int \frac{1}{x^2 - x - 2} dx.1,5 pts
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