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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2010

4 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Cada ejercicio se puntuará sobre un máximo de 2,5 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que trata de resolver. Justificaciones teóricas que aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la parábola y=13x2y = \frac{1}{3}x^2 y la recta y=9y = 9, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x+1x−1f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}, se pide:
a
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, y las asíntotas.1,5 pts
b
Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función g(x)=f(x)xg(x) = \frac{f(x)}{x}, el eje OX y las rectas x=2x = 2, x=4x = 4.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices B=(1000100−1m)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & m \end{pmatrix}, C=(1−35−24−6)C = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\ -2 & 4 & -6 \end{pmatrix} y D=(123010)D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
a
¿Para qué valores de mm existe B−1B^{-1}? Para m=1m = 1, calcular B−1B^{-1}.1,5 pts
b
Para m=1m = 1, hallar la matriz XX tal que X⋅B+C=DX \cdot B + C = D.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se consideran las rectas rr y ss dadas por las ecuaciones:r≡{x−y+z=12x+y−z=2,s≡x−23=y+12=zar \equiv \begin{cases} x - y + z = 1 \\ 2x + y - z = 2 \end{cases}, \qquad s \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{a}
a
Hallar el valor del parámetro aa para que rr y ss sean perpendiculares.1,5 pts
b
Hallar la recta tt paralela a rr y que pasa por el punto de ss cuya coordenada z=0z = 0.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función:f(x)={x2+bx+csi x≤0ln⁡(x+1)xsi x>0f(x) = \begin{cases} x^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}Calcular bb y cc sabiendo que la función es derivable en el punto x=0x = 0.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcular ∫−12∣x2−3x+2∣ dx\int_{-1}^{2} |x^2 - 3x + 2| \, dx.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Discutir según los valores del parámetro aa, y resolver cuando sea posible, el sistema:{x+z=1y+(a−1)z=0x+(a−1)y+az=a\begin{cases} x + z = 1 \\ y + (a - 1)z = 0 \\ x + (a - 1)y + az = a \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dadas las rectas s≡x−13=y=z−12s \equiv \frac{x - 1}{3} = y = \frac{z - 1}{2} y t≡{2x−y=02y−z=4t \equiv \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 2y - z = 4 \end{cases}, se pide hallar la perpendicular común a ss y a tt y la distancia entre ambas rectas.
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