Matemáticas II · Castilla y León 2010

Dada la parábola $y = \frac{1}{3}x^2$ y la recta $y = 9$, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.

Dada la función: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{\ln(x + 1)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calcular $b$ y $c$ sabiendo que la función es derivable en el punto $x = 0$.

Dada la función $f(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$, se pide:

Calcular $\int_{-1}^{2} |x^2 - 3x + 2| \, dx$.

Dadas las matrices $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & m \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 5 \\ -2 & 4 & -6 \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Discutir según los valores del parámetro $a$, y resolver cuando sea posible, el sistema: $$\begin{cases} x + z = 1 \\ y + (a - 1)z = 0 \\ x + (a - 1)y + az = a \end{cases}$$

Se consideran las rectas $r$ y $s$ dadas por las ecuaciones: $$r \equiv \begin{cases} x - y + z = 1 \\ 2x + y - z = 2 \end{cases}, \qquad s \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{a}$$

Dadas las rectas $s \equiv \frac{x - 1}{3} = y = \frac{z - 1}{2}$ y $t \equiv \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 2y - z = 4 \end{cases}$, se pide hallar la perpendicular común a $s$ y a $t$ y la distancia entre ambas rectas.