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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCantabriaPAU 2026Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cantabria 2026

3 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a los tres apartados. En los apartados 1 y 3, elige una de las dos opciones y realízala íntegramente.
Puntuación
Los apartados 1 y 3 valen 3 puntos cada uno y el apartado 2 vale 4 puntos. La puntuación de cada tarea figura en el enunciado.
Material
Se permiten reglas y calculadoras que no sean programables, ni gráficas o con capacidad para almacenar o transmitir datos.
Además
Si resuelves más opciones de las establecidas en un apartado, solo se corrige la primera. Todos los resultados deben estar debidamente justificados.

Ejercicio 1

1
3 puntos
Apartado 1

En el caso de aparecer dos opciones, se escogerá una que se deberá realizar íntegramente.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa:{x+ay−z=12x−y+az=2x+y+z=3\begin{cases}x+ay-z=1\\2x-y+az=2\\x+y+z=3\end{cases}Realice las tareas que se describen a continuación:
1.1A
Discuta el sistema en función de los valores del parámetro aa.2 pts
1.1B
Resuelva el sistema de ecuaciones para a=−2a=-2.1 pt
Ver este ejercicio

En el caso de aparecer dos opciones, se escogerá una que se deberá realizar íntegramente.

Una agencia de marketing desea maximizar el impacto de su nueva campaña, medido en miles de visualizaciones, invirtiendo en dos tipos de publicidad: Instagram Stories y YouTube Pre-roll. Los costes unitarios son de 500 €500\,\text{€} para Instagram y 1.500 €1.500\,\text{€} para YouTube, contando con un presupuesto límite de 15.000 €15.000\,\text{€}. Las condiciones de contratación exigen un total de al menos 1010 anuncios, de los cuales como mínimo 44 deben ser de YouTube. Además, el número de anuncios de Instagram no puede exceder el doble de los de YouTube. Se estima que el impacto por unidad es de 1,51{,}5 miles de visualizaciones en Instagram y 33 miles en YouTube. Realice las siguientes tareas:
1.2A
Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.1 pt
1.2B
Dibuje la región factible en el plano, calculando sus vértices.1 pt
1.2C
¿Cuántos anuncios de cada tipo debe contratar la empresa para maximizar el impacto (número de visualizaciones)?0,75 pts
1.2D
¿A cuánto ascendería dicho impacto máximo (en miles de visualizaciones)?0,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
4 puntos
Apartado 2
Realice las siguientes tareas a partir de esta función. Se considera la función real de variable real definida por:f(x)={x3+ax2−3x,si x≤2x2−3x−4,si x>2f(x)=\begin{cases}x^3+ax^2-3x, & \text{si }x\leq 2\\x^2-3x-4, & \text{si }x>2\end{cases}
2.1A
Calcule el valor del parámetro aa para que la función f(x)f(x) sea continua en todo su dominio. Para el valor de aa obtenido, halle los puntos de corte de la gráfica con los ejes de coordenadas.1,5 pts
2.1B
Considerando el caso a=−2a=-2, calcule el área de la región delimitada por esta función, el eje de abscisas OX\mathrm{OX} y las rectas verticales x=0x=0, x=2x=2.1,5 pts
2.1C
Considerando el caso a=0a=0, calcule los extremos relativos que tiene esta función en el intervalo [−3,2][-3,2], especificando si son máximos o mínimos.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
3 puntos
Apartado 3

En el caso de aparecer dos opciones, se escogerá una que se deberá realizar íntegramente.

El tiempo que los estudiantes de un instituto tardan en completar un examen sigue una distribución normal con una desviación típica de 1010 minutos. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100100 estudiantes seleccionados al azar, y se ha calculado que el tiempo medio necesario para completar el examen es de 9090 minutos. Realice las siguientes tareas:
3.1A
Calcule el intervalo de confianza del 95%95\% para el valor promedio del tiempo que los estudiantes tardan en completar el examen.1,5 pts
3.1B
¿Cuál es el número mínimo de estudiantes que habría que considerar para que el error al estimar el tiempo medio empleado en completar el examen, con un nivel de confianza del 97%97\%, fuese de 22 minutos?1,5 pts
Ver este ejercicio

En el caso de aparecer dos opciones, se escogerá una que se deberá realizar íntegramente.

Una empresa de biotecnología ha desarrollado una prueba para una enfermedad. Se estima que el 3%3\% de la población padece la enfermedad. La prueba es altamente sensible, dando positivo en el 98%98\% de las personas enfermas. Sin embargo, en el 5%5\% de las personas sanas, la prueba da un falso positivo. Realice las siguientes tareas que se plantean:
3.2A
Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo en la prueba.1 pt
3.2B
Si una persona ha dado positivo, calcule la probabilidad de que realmente esté sana.1 pt
3.2C
Calcule la probabilidad de que la prueba dé un resultado incorrecto para una persona elegida al azar.1 pt
Ver este ejercicio

Formulario

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Tabla de la distribución normal N(0,1)N(0, 1)P(z≤z0)=12π∫−∞z0e−z22 dz\begin{aligned}P(z\leq z_0)&=\\&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z_0}e^{-\frac{z^2}{2}}\,dz\end{aligned}
Curva de la distribución normal estándar, con el área bajo la curva sombreada a la izquierda de z₀ y las marcas 0 y z₀ en el eje horizontal.
z0z_00,000,01
0,00,50000,5040
0,10,53980,5438
0,20,57930,5832
0,30,61790,6217
0,40,65540,6591
0,50,69150,6950
0,60,72570,7291
0,70,75800,7611
0,80,78810,7910
0,90,81590,8186
1,00,84130,8438
1,10,86430,8665
1,20,88490,8869
1,30,90320,9049
1,40,91920,9207
1,50,93320,9345
1,60,94520,9463
1,70,95540,9564
1,80,96410,9649
1,90,97130,9719
2,00,97720,9778
2,10,98210,9826
2,20,98610,9864
2,30,98930,9896
2,40,99180,9920
2,50,99380,9940
2,60,99530,9955
2,70,99650,9966
2,80,99740,9975
2,90,99810,9982
3,00,998650,99869
3,10,999030,99906
3,20,999310,99934
3,30,999520,99953
3,40,999660,99968
3,50,999770,99978
3,60,999840,99985
3,70,999890,99990
3,80,999930,99993
3,90,999950,99995
z0z_00,020,03
0,00,50800,5120
0,10,54780,5517
0,20,58710,5910
0,30,62550,6293
0,40,66280,6664
0,50,69850,7019
0,60,73240,7357
0,70,76420,7673
0,80,79390,7967
0,90,82120,8238
1,00,84610,8485
1,10,86860,8708
1,20,88880,8907
1,30,90660,9082
1,40,92220,9236
1,50,93570,9370
1,60,94740,9484
1,70,95730,9582
1,80,96560,9664
1,90,97260,9732
2,00,97830,9788
2,10,98300,9834
2,20,98680,9871
2,30,98980,9901
2,40,99220,9925
2,50,99410,9943
2,60,99560,9957
2,70,99670,9968
2,80,99760,9977
2,90,99820,9983
3,00,998740,99878
3,10,999100,99913
3,20,999360,99938
3,30,999550,99957
3,40,999690,99970
3,50,999780,99979
3,60,999850,99986
3,70,999900,99990
3,80,999930,99994
3,90,999960,99996
z0z_00,040,05
0,00,51600,5199
0,10,55570,5596
0,20,59480,5987
0,30,63310,6368
0,40,67000,6736
0,50,70540,7088
0,60,73890,7422
0,70,77040,7734
0,80,79950,8023
0,90,82640,8289
1,00,85080,8531
1,10,87290,8749
1,20,89250,8944
1,30,90990,9115
1,40,92510,9265
1,50,93820,9394
1,60,94950,9505
1,70,95910,9599
1,80,96710,9678
1,90,97380,9744
2,00,97930,9798
2,10,98380,9842
2,20,98750,9878
2,30,99040,9906
2,40,99270,9929
2,50,99450,9946
2,60,99590,9960
2,70,99690,9970
2,80,99770,9978
2,90,99840,9984
3,00,998820,99886
3,10,999160,99918
3,20,999400,99942
3,30,999580,99960
3,40,999710,99972
3,50,999800,99981
3,60,999860,99987
3,70,999910,99991
3,80,999940,99994
3,90,999960,99996
z0z_00,060,07
0,00,52390,5279
0,10,56360,5675
0,20,60260,6064
0,30,64060,6443
0,40,67720,6808
0,50,71230,7157
0,60,74540,7486
0,70,77640,7794
0,80,80510,8078
0,90,83150,8340
1,00,85540,8577
1,10,87700,8790
1,20,89620,8980
1,30,91310,9147
1,40,92790,9292
1,50,94060,9418
1,60,95150,9525
1,70,96080,9616
1,80,96860,9693
1,90,97500,9756
2,00,98030,9808
2,10,98460,9850
2,20,98810,9884
2,30,99090,9911
2,40,99310,9932
2,50,99480,9949
2,60,99610,9962
2,70,99710,9972
2,80,99790,9979
2,90,99850,9985
3,00,998890,99893
3,10,999210,99924
3,20,999440,99946
3,30,999610,99962
3,40,999730,99974
3,50,999810,99982
3,60,999870,99988
3,70,999920,99992
3,80,999940,99995
3,90,999960,99996
z0z_00,080,09
0,00,53190,5359
0,10,57140,5753
0,20,61030,6141
0,30,64800,6517
0,40,68440,6879
0,50,71900,7224
0,60,75170,7549
0,70,78230,7852
0,80,81060,8133
0,90,83650,8389
1,00,85990,8621
1,10,88100,8830
1,20,89970,9015
1,30,91620,9177
1,40,93060,9319
1,50,94290,9441
1,60,95350,9545
1,70,96250,9633
1,80,96990,9706
1,90,97610,9767
2,00,98120,9817
2,10,98540,9857
2,20,98870,9890
2,30,99130,9916
2,40,99340,9936
2,50,99510,9952
2,60,99630,9964
2,70,99730,9974
2,80,99800,9981
2,90,99860,9986
3,00,998960,99900
3,10,999260,99929
3,20,999480,99950
3,30,999640,99965
3,40,999750,99976
3,50,999830,99983
3,60,999880,99989
3,70,999920,99992
3,80,999950,99995
3,90,999970,99997