Matemáticas II · Aragón 2025

Obtén el mensaje encriptado al que se llega a partir del mensaje “HOLA” inicial.

Explica cómo podríamos realizar el proceso de desencriptado para recuperar un mensaje a partir de un mensaje encriptado recibido.

Si hemos obtenido el mensaje encriptado $M_{final} = \begin{pmatrix} 30 \\ -21 \\ -25 \\ -16 \end{pmatrix}$ con el proceso descrito arriba, ¿cuál es el mensaje original?

Si quisiéramos utilizar otra matriz de encriptado, del mismo tamaño que $M_E$ ¿qué condición debería cumplir dicha matriz para poder realizar el proceso completo de encriptado y desencriptado sin problemas?

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores no nulos de $\mathbb{R}^3$ perpendiculares entre sí y $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ su producto vectorial. Se definen $\vec{a} = (\vec{u} \times \vec{v}) + \vec{w}$, $\vec{b} = \vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{w})$ y $c = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$. Indica si $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $c$ son vectores o escalares (números). Para aquellos que sean vectores, justifica si son paralelos o perpendiculares a cada uno de los vectores $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$.

Queremos aproximar la función $f(x) = e^x$, con $x$ en el intervalo $[0, 1]$, por otra función $g_m(x) = mx$ con $m$ un parámetro en $\mathbb{R}$. Definimos como error de la aproximación la expresión $$\text{err}(m) = \int_{0}^{1} (f(x) - g_m(x))^2 dx$$

En un juego se cuenta con el siguiente tablero, de manera que una ficha puede desplazarse de la casilla 1 a la 2; de la 2 puede desplazarse a las casillas 1 y 3; y de la casilla 3 a la casilla 2. Para decidir el movimiento a realizar en cada turno, se lanza una moneda equilibrada (misma probabilidad de cara y cruz). Si sale cara, se intenta desplazar la ficha a la izquierda; si sale cruz, a la derecha. En caso de no poder realizar el desplazamiento correspondiente, la ficha se queda en la casilla en la que está durante ese turno.

Dados dos sucesos aleatorios de los que se sabe que $P(A|B) = 2/3$ y $P(B|A) = 3/4$.