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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2025

4 ejercicios

Instrucciones

El examen consta de cuatro preguntas. Cada pregunta tiene una valoración de 2,5 puntos. La primera pregunta es obligatoria, mientras que en las tres últimas se deberá elegir entre Opción 1 y Opción 2, respondiendo únicamente a una de las dos. En caso de contestar cuestiones de ambas opciones, solo se corregirá la opción que aparezca en primer lugar en el tríptico. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las opciones elegidas en las preguntas 2, 3 y 4. (Si no se indica, y se han respondido dos opciones de una misma pregunta, sólo se corregirá la opción que se haya respondido en primer lugar). Justifica los pasos realizados para llegar a la solución obtenida.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Queremos encriptar el mensaje “HOLA” con un sistema de encriptado que consta de los siguientes pasos: Paso 1: Convertimos cada carácter del mensaje a encriptar (en nuestro caso la palabra “HOLA”) en un número según la tabla siguiente: Paso 2: Construimos una matriz columna, McM_c, con los cuatro números obtenidos en el paso anterior. Paso 3: Multiplicamos la matriz de encriptado, ME=(1111−10−1−1−1−10−1−1−1−10)\mathcal{M}_E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}, por la matriz McM_c obtenida en el paso anterior. El resultado del último paso, MfinalM_{final}, es el mensaje encriptado.
ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
123456789101112131415161718192021222324252627
a
Obtén el mensaje encriptado al que se llega a partir del mensaje “HOLA” inicial.0,5 pts
b
Explica cómo podríamos realizar el proceso de desencriptado para recuperar un mensaje a partir de un mensaje encriptado recibido.0,5 pts
c
Si hemos obtenido el mensaje encriptado Mfinal=(30−21−25−16)M_{final} = \begin{pmatrix} 30 \\ -21 \\ -25 \\ -16 \end{pmatrix} con el proceso descrito arriba, ¿cuál es el mensaje original?1 pt
d
Si quisiéramos utilizar otra matriz de encriptado, del mismo tamaño que MEM_E ¿qué condición debería cumplir dicha matriz para poder realizar el proceso completo de encriptado y desencriptado sin problemas?0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos

Elige entre 2.1 y 2.2, respondiendo únicamente uno de los dos.

Sean u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} dos vectores no nulos de R3\mathbb{R}^3 perpendiculares entre sí y w⃗=u⃗×v⃗\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} su producto vectorial. Se definen a⃗=(u⃗×v⃗)+w⃗\vec{a} = (\vec{u} \times \vec{v}) + \vec{w}, b⃗=v⃗×(v⃗×w⃗)\vec{b} = \vec{v} \times (\vec{v} \times \vec{w}) y c=u⃗⋅(v⃗×w⃗)c = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}). Indica si a⃗\vec{a}, b⃗\vec{b} y cc son vectores o escalares (números). Para aquellos que sean vectores, justifica si son paralelos o perpendiculares a cada uno de los vectores u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w}.2,5 pts
2,5 pts
a
Halla las ecuaciones paramétricas de la recta ss que pasa por el punto P(4,−3,0)P(4, -3, 0) y es perpendicular al plano π≡x−2y+z−1=0\pi \equiv x - 2y + z - 1 = 0.1 pt
b
Halla la ecuación del plano que contiene al punto Q(1,2,3)Q(1, 2, 3) y a la recta r≡{x+y+z=1x−2y=0r \equiv \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x - 2y = 0 \end{cases}1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos

Elige entre 3.1 y 3.2, respondiendo únicamente uno de los dos.

Queremos aproximar la función f(x)=exf(x) = e^x, con xx en el intervalo [0,1][0, 1], por otra función gm(x)=mxg_m(x) = mx con mm un parámetro en R\mathbb{R}. Definimos como error de la aproximación la expresión err(m)=∫01(f(x)−gm(x))2dx\text{err}(m) = \int_{0}^{1} (f(x) - g_m(x))^2 dx2,5 pts
a
Comprueba que err(m)=e22−12−2m+m23\text{err}(m) = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} - 2m + \frac{m^2}{3} con m∈Rm \in \mathbb{R}1,5 pts
b
¿Cuál es el valor de m∈Rm \in \mathbb{R} que minimiza el error? ¿Cuál será el valor mínimo del error?1 pt
2,5 pts
a
Calcula lim⁡x→0x2−sen⁡(x2)1−cos⁡(x)\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \operatorname{sen}(x^2)}{1 - \cos(x)}1,25 pts
b
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x)=cos⁡2(x)sen⁡(x),x∈[0,π]f(x) = \cos^2(x) \operatorname{sen}(x), \quad x \in [0, \pi] y el eje de abscisas.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos

Elige entre 4.1 y 4.2, respondiendo únicamente uno de los dos.

En un juego se cuenta con el siguiente tablero, de manera que una ficha puede desplazarse de la casilla 1 a la 2; de la 2 puede desplazarse a las casillas 1 y 3; y de la casilla 3 a la casilla 2. Para decidir el movimiento a realizar en cada turno, se lanza una moneda equilibrada (misma probabilidad de cara y cruz). Si sale cara, se intenta desplazar la ficha a la izquierda; si sale cruz, a la derecha. En caso de no poder realizar el desplazamiento correspondiente, la ficha se queda en la casilla en la que está durante ese turno.2,5 pts
123
a
Construye un árbol (o una tabla) que muestre las probabilidades de pasar de una casilla a otra en un turno.0,5 pts
b
Si la ficha se encuentra en la casilla 1, ¿cuál es la probabilidad de que tras tres turnos se encuentre de nuevo en la casilla 1?1 pt
c
Para comenzar el juego, se procede a un sorteo para ver dónde comienza la ficha. Si la probabilidad de empezar en la casilla 1 es 1/21/2 y la probabilidad de empezar en la casilla 2 y en la 3 es de 1/41/4 para cada una, ¿cuál es la probabilidad de que la ficha esté en cada una de las tres casillas dos turnos después de empezar?1 pt
Dados dos sucesos aleatorios de los que se sabe que P(A∣B)=2/3P(A|B) = 2/3 y P(B∣A)=3/4P(B|A) = 3/4.2,5 pts
a
Si AA y BB fueran independientes, ¿cuánto valdría P(A∪B)P(A \cup B)?1 pt
b
Si P(A∪B)=5/6P(A \cup B) = 5/6, ¿cuáles son las probabilidades P(A)P(A), P(B)P(B) y P(A∪B‾)P(A \cup \overline{B})?1,5 pts
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